Страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.20. В коробке лежат 24 синих и 16 красных ручек. Ученик выбирает наугад ручку из коробки и этой ручкой пишет число на бумаге. Электронный сканер распознаёт число, написанное синей ручкой, с вероятностью 90%, а число, написанное красной ручкой, — с вероятностью 70%. Составьте дендрограмму этого опыта и найдите вероятность того, что написанное число будет распознано.

Для решения задачи сначала определим основные вероятности, исходя из условия.

В коробке находится $24$ синих и $16$ красных ручек. Общее количество ручек: $N = 24 + 16 = 40$.

Введем события:

• $A_С$ — событие, состоящее в том, что ученик выбрал синюю ручку.
• $A_К$ — событие, состоящее в том, что ученик выбрал красную ручку.
• $B$ — событие, состоящее в том, что написанное число распознано сканером.

Вероятность выбрать синюю ручку:

$P(A_С) = \frac{\text{количество синих ручек}}{\text{общее количество ручек}} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5} = 0.6$

Вероятность выбрать красную ручку:

$P(A_К) = \frac{\text{количество красных ручек}}{\text{общее количество ручек}} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5} = 0.4$

Также из условия известны условные вероятности распознавания числа:

• $P(B|A_С) = 90\% = 0.9$ (вероятность распознать число, если оно написано синей ручкой).
• $P(B|A_К) = 70\% = 0.7$ (вероятность распознать число, если оно написано красной ручкой).

Дендрограмма (или дерево вероятностей) иллюстрирует последовательность событий и их вероятности. Первый уровень дерева представляет выбор ручки, а второй — результат сканирования.

• Начало опыта
  • → Выбрана синяя ручка (Вероятность $0.6$)
    • → Число распознано (Условная вероятность $0.9$)
    • → Число не распознано (Условная вероятность $1 - 0.9 = 0.1$)
  • → Выбрана красная ручка (Вероятность $0.4$)
    • → Число распознано (Условная вероятность $0.7$)
    • → Число не распознано (Условная вероятность $1 - 0.7 = 0.3$)

Ответ: дендрограмма опыта представлена на схеме выше.

Чтобы найти общую вероятность события $B$ (число распознано), необходимо использовать формулу полной вероятности. Событие $B$ может наступить в двух несовместных случаях: была выбрана синяя ручка и число распознано, ИЛИ была выбрана красная ручка и число распознано.

Формула полной вероятности для данного случая:

$P(B) = P(A_С) \cdot P(B|A_С) + P(A_К) \cdot P(B|A_К)$

Подставим вычисленные ранее вероятности в эту формулу:

$P(B) = (0.6 \cdot 0.9) + (0.4 \cdot 0.7)$

Выполним вычисления:

$P(B) = 0.54 + 0.28$

$P(B) = 0.82$

Таким образом, полная вероятность того, что написанное число будет распознано, составляет $0.82$, или $82\%$.

Ответ: $0.82$.

18.21. На соревнованиях по метанию копья последнему спортсмену осталось выполнить последнюю попытку. Если во время броска ветер будет попутный, то спортсмен сможет победить с вероятностью 0,42, если же ветер будет встречный – то с вероятностью 0,35. Составьте дендрограмму этого опыта и найдите вероятность победы спортсмена, если вероятность того, что во время броска ветер будет попутным, равна 0,6.

Для решения задачи определим ключевые события и их вероятности, данные в условии.

Пусть событие $A$ — «ветер попутный», а событие $\bar{A}$ — «ветер встречный». Событие $W$ — «спортсмен победит».

Из условия задачи нам известны:

• Вероятность попутного ветра: $P(A) = 0,6$.
• Условная вероятность победы при попутном ветре: $P(W|A) = 0,42$.
• Условная вероятность победы при встречном ветре: $P(W|\bar{A}) = 0,35$.

Поскольку ветер может быть либо попутным, либо встречным, эти два события являются противоположными. Вероятность встречного ветра составляет:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4$.

Составьте дендрограмму этого опыта

Дендрограмма (или дерево вероятностей) для этого опыта будет состоять из двух уровней ветвления.

1. Первый уровень представляет тип ветра. От начальной точки отходят две основные ветви:
   • «Попутный ветер» с вероятностью $P(A) = 0,6$.
   • «Встречный ветер» с вероятностью $P(\bar{A}) = 0,4$.
2. Второй уровень представляет исход попытки (победа или не победа) для каждого типа ветра.
   • От ветви «Попутный ветер» отходят еще две ветви: «Победа» с условной вероятностью $P(W|A) = 0,42$ и «Не победа» с условной вероятностью $1 - 0,42 = 0,58$.
   • От ветви «Встречный ветер» также отходят две ветви: «Победа» с условной вероятностью $P(W|\bar{A}) = 0,35$ и «Не победа» с условной вероятностью $1 - 0,35 = 0,65$.

Вероятность каждого из четырех возможных исходов (путей на дереве) равна произведению вероятностей на ветвях, составляющих этот путь:

• Попутный ветер и победа: $0,6 \times 0,42 = 0,252$.
• Попутный ветер и не победа: $0,6 \times 0,58 = 0,348$.
• Встречный ветер и победа: $0,4 \times 0,35 = 0,140$.
• Встречный ветер и не победа: $0,4 \times 0,65 = 0,260$.

Найдите вероятность победы спортсмена

Вероятность победы спортсмена ($P(W)$) находится по формуле полной вероятности. Победа может наступить при одном из двух несовместных исходов: победа при попутном ветре или победа при встречном ветре. Полная вероятность победы равна сумме вероятностей этих двух исходов.

Вероятность события «попутный ветер и победа»:

$P(A \cap W) = P(A) \cdot P(W|A) = 0,6 \cdot 0,42 = 0,252$.

Вероятность события «встречный ветер и победа»:

$P(\bar{A} \cap W) = P(\bar{A}) \cdot P(W|\bar{A}) = 0,4 \cdot 0,35 = 0,140$.

Суммируем вероятности этих двух несовместных событий, чтобы получить общую вероятность победы:

$P(W) = P(A \cap W) + P(\bar{A} \cap W) = 0,252 + 0,140 = 0,392$.

Ответ: 0,392.

18.22. Два завода производят зонты. Первый завод производит $30\%$, а второй $70\%$ всех зонтов. Вероятность купить бракованный зонт равна $1\%$, если он изготовлен на первом заводе, и равна $3\%$, если на втором. Найдите вероятность того, что наугад выбранный зонт окажется бракованным.

Для решения этой задачи используется формула полной вероятности. Событие "наугад выбранный зонт окажется бракованным" может произойти в двух случаях:

1. Выбранный зонт произведен на первом заводе и он бракованный.
2. Выбранный зонт произведен на втором заводе и он бракованный.

Введем обозначения:
Событие $A_1$ – зонт произведен на первом заводе.
Событие $A_2$ – зонт произведен на втором заводе.
Событие $B$ – выбранный зонт бракованный.

Из условия задачи известны следующие вероятности:
Вероятность того, что зонт произведен на первом заводе: $P(A_1) = 30\% = 0.3$.
Вероятность того, что зонт произведен на втором заводе: $P(A_2) = 70\% = 0.7$.

Также известны условные вероятности брака для каждого завода:
Вероятность того, что зонт бракованный, при условии, что он с первого завода: $P(B|A_1) = 1\% = 0.01$.
Вероятность того, что зонт бракованный, при условии, что он со второго завода: $P(B|A_2) = 3\% = 0.03$.

Полная вероятность события $B$ (того, что зонт бракованный) находится по формуле полной вероятности:
$P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2)$

Подставим числовые значения в формулу и произведем расчет:
$P(B) = 0.3 \cdot 0.01 + 0.7 \cdot 0.03 = 0.003 + 0.021 = 0.024$

Ответ: 0,024

18.23. Из коробки, в которой лежат 10 синих и 18 красных шаров, наугад берут сначала один шар, а потом ещё один. Вычислите вероятность того, что первый взятый шар синий, при условии, что второй шар оказался красным.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой условной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что первый взятый шар — синий, а событие $B$ — в том, что второй взятый шар — красный. Нам необходимо найти вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло, то есть $P(A|B)$.

Формула условной вероятности имеет вид: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, где $P(A \cap B)$ — это вероятность того, что первый шар синий и второй красный, а $P(B)$ — это полная вероятность того, что второй шар окажется красным.

Сначала вычислим $P(A \cap B)$.
Всего в коробке $10 + 18 = 28$ шаров.
Вероятность того, что первый шар окажется синим, равна $\frac{10}{28}$.
После того как извлекли один синий шар, в коробке осталось 27 шаров, из которых 18 красных.
Вероятность того, что второй шар окажется красным (при условии, что первый был синим), равна $\frac{18}{27}$.
Вероятность того, что первый шар синий, а второй — красный, равна произведению этих вероятностей:
$P(A \cap B) = \frac{10}{28} \times \frac{18}{27} = \frac{5}{14} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$.

Теперь вычислим полную вероятность $P(B)$, то есть вероятность того, что второй шар окажется красным. Это может произойти в двух взаимоисключающих случаях.
Первый случай: первый шар был синим, а второй — красным. Вероятность этого мы уже нашли: $P(\text{первый синий, второй красный}) = \frac{5}{21}$.
Второй случай: оба шара были красными. Вероятность вытащить первый красный шар равна $\frac{18}{28}$. После этого в коробке останется 27 шаров, из которых 17 красных. Вероятность вытащить второй красный шар равна $\frac{17}{27}$. Вероятность этого случая: $P(\text{первый красный, второй красный}) = \frac{18}{28} \times \frac{17}{27} = \frac{9}{14} \times \frac{17}{27} = \frac{1}{14} \times \frac{17}{3} = \frac{17}{42}$.
Полная вероятность $P(B)$ равна сумме вероятностей этих двух случаев:
$P(B) = \frac{5}{21} + \frac{17}{42} = \frac{10}{42} + \frac{17}{42} = \frac{27}{42} = \frac{9}{14}$.

Наконец, подставим найденные значения в формулу условной вероятности:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{5/21}{9/14} = \frac{5}{21} \cdot \frac{14}{9} = \frac{5 \cdot 14}{21 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 2 \cdot 7}{3 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{10}{27}$.

Ответ: $\frac{10}{27}$

18.24. Из коробки, в которой лежат 2 синих и 3 красных шара, наугад берут сначала один шар, а потом ещё один. Вычислите вероятность того, что взятые шары одного цвета, если среди взятых шаров есть красный.

Обозначим события:

$A$ – событие, при котором взятые шары одного цвета.

$B$ – событие, при котором среди взятых шаров есть красный шар.

Нам необходимо найти условную вероятность $P(A|B)$ – вероятность того, что шары одного цвета, при условии, что среди них есть красный.

Формула условной вероятности: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, где $P(A \cap B)$ – вероятность одновременного наступления событий $A$ и $B$, а $P(B)$ – вероятность события $B$.

1. Найдем вероятность события $B$.

Событие $B$ (среди взятых шаров есть красный) является противоположным событию, в котором оба взятых шара – синие. Найдем вероятность вытащить два синих шара подряд.

Всего в коробке $2 + 3 = 5$ шаров.

Вероятность вытащить первый синий шар равна $\frac{2}{5}$.

После того как был вытащен один синий шар, в коробке осталось 4 шара, из которых 1 синий. Вероятность вытащить второй синий шар равна $\frac{1}{4}$.

Вероятность того, что оба шара синие, равна произведению этих вероятностей: $P(\text{оба синие}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.

Следовательно, вероятность события $B$ (что хотя бы один шар красный) равна: $P(B) = 1 - P(\text{оба синие}) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.

2. Найдем вероятность события $A \cap B$.

Событие $A \cap B$ означает, что "взятые шары одного цвета И среди них есть красный". Это условие выполняется только тогда, когда оба взятых шара – красные.

Вероятность вытащить первый красный шар равна $\frac{3}{5}$.

После этого в коробке останется 4 шара, из которых 2 красных. Вероятность вытащить второй красный шар равна $\frac{2}{4}$.

Вероятность того, что оба шара красные, равна: $P(A \cap B) = P(\text{оба красные}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

3. Вычислим условную вероятность $P(A|B)$.

Подставим найденные значения в формулу условной вероятности: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3/10}{9/10} = \frac{3}{10} \times \frac{10}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

18.25. Пусть $A$ и $B$ – независимые события некоторого испытания с ненулевыми вероятностями. Могут ли события $A$ и $B$ быть несовместными?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать определения независимых и несовместных событий.

По определению, два события $A$ и $B$ называются независимыми, если вероятность их одновременного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

По определению, два события $A$ и $B$ называются несовместными, если они не могут произойти в одном и том же испытании. Это означает, что их пересечение является невозможным событием, и вероятность их совместного наступления равна нулю:
$P(A \cap B) = 0$

В условии задачи дано, что события $A$ и $B$ независимы, а их вероятности ненулевые. Это можно записать так:
$P(A) > 0$
$P(B) > 0$

Теперь предположим, что события $A$ и $B$ могут быть несовместными. Если они несовместны, то должно выполняться равенство $P(A \cap B) = 0$.

С другой стороны, так как события $A$ и $B$ по условию независимы, должно выполняться равенство $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Приравняем правые части этих выражений:
$P(A) \cdot P(B) = 0$

Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Следовательно, из этого равенства вытекает, что либо $P(A) = 0$, либо $P(B) = 0$.

Однако это напрямую противоречит условию задачи, в котором сказано, что вероятности событий $A$ и $B$ ненулевые ($P(A) > 0$ и $P(B) > 0$). Если оба множителя строго больше нуля, то их произведение также должно быть строго больше нуля: $P(A) \cdot P(B) > 0$.

Мы пришли к противоречию: из предположения о несовместности следует, что $P(A \cap B) = 0$, а из условия независимости и ненулевых вероятностей следует, что $P(A \cap B) > 0$. Вероятность одного и того же события не может быть одновременно равна нулю и больше нуля. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Нет, независимые события с ненулевыми вероятностями не могут быть несовместными.

18.26. Пусть $A$ и $B$ – несовместные события некоторого испытания с ненулевыми вероятностями. Могут ли события $A$ и $B$ быть независимыми?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определения несовместных и независимых событий.

1. Определение несовместных событий:
Два события $A$ и $B$ называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Это означает, что их пересечение является пустым множеством: $A \cap B = \emptyset$. Следовательно, вероятность их совместного наступления (то есть вероятность их пересечения) равна нулю: $$P(A \cap B) = 0$$

2. Определение независимых событий:
Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Математически это выражается равенством: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

3. Анализ условия задачи:
По условию, события $A$ и $B$ являются несовместными, и их вероятности ненулевые: $P(A) > 0$ и $P(B) > 0$.

Теперь предположим, что эти события также являются независимыми. Если бы они были независимыми, для них должно было бы выполняться равенство из определения независимости: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Но так как события несовместные, мы знаем, что $P(A \cap B) = 0$. Подставив это значение в формулу для независимых событий, мы получаем: $$0 = P(A) \cdot P(B)$$

Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. То есть, из этого равенства следует, что либо $P(A) = 0$, либо $P(B) = 0$.

Однако это напрямую противоречит условию задачи, в котором указано, что вероятности событий $A$ и $B$ ненулевые ($P(A) > 0$ и $P(B) > 0$). Если обе вероятности строго больше нуля, то их произведение также должно быть строго больше нуля: $P(A) \cdot P(B) > 0$.

Таким образом, мы пришли к противоречию. С одной стороны, из-за несовместности событий должно быть $P(A \cap B) = 0$. С другой стороны, если бы они были независимы при ненулевых вероятностях, должно было бы выполняться $P(A \cap B) > 0$. Это невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что события $A$ и $B$ могут быть независимыми, неверно.

Ответ: Нет, несовместные события с ненулевыми вероятностями не могут быть независимыми. Они являются зависимыми, так как наступление одного из них (например, события A) делает невозможным наступление другого (вероятность события B при условии, что A наступило, равна нулю: $P(B|A)=0$), что и является признаком зависимости.

18.27. Андрей попадает в мишень с вероятностью $0,4$, Сергей — $0,5$, а Пётр — $0,7$. Все трое делают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что:

1) попадут все юноши;

2) ни один из юношей не попадёт;

3) только Андрей попадёт;

4) ровно один из юношей попадёт;

5) не попадёт только Пётр;

6) только один из юношей не попадёт;

7) по крайней мере двое юношей попадут?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Событие A: Андрей попал в мишень. Вероятность $P(A) = 0,4$.
• Событие B: Сергей попал в мишень. Вероятность $P(B) = 0,5$.
• Событие C: Пётр попал в мишень. Вероятность $P(C) = 0,7$.

Так как выстрелы независимы, мы можем перемножать вероятности соответствующих событий.

Также найдём вероятности противоположных событий (промахов):

• Событие $\bar{A}$: Андрей не попал в мишень. Вероятность $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6$.
• Событие $\bar{B}$: Сергей не попал в мишень. Вероятность $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,5 = 0,5$.
• Событие $\bar{C}$: Пётр не попал в мишень. Вероятность $P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0,7 = 0,3$.

Теперь решим каждый пункт задачи.

1) попадут все юноши
Это означает, что Андрей попал, и Сергей попал, и Пётр попал. Вероятность этого события равна произведению вероятностей попадания каждого из них.
$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,14$.
Ответ: 0,14.

2) ни один из юношей не попадёт
Это означает, что все трое промахнулись. Вероятность этого события равна произведению вероятностей промаха каждого из них.
$P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,09$.
Ответ: 0,09.

3) только Андрей попадёт
Это означает, что Андрей попал, а Сергей и Пётр промахнулись.
$P(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,06$.
Ответ: 0,06.

4) ровно один из юношей попадёт
Это событие состоит из трёх несовместных исходов:
1. Попал только Андрей (вероятность найдена в пункте 3): $0,06$.
2. Попал только Сергей (Андрей и Пётр промахнулись): $P(\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) = P(\bar{A}) \cdot P(B) \cdot P(\bar{C}) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,09$.
3. Попал только Пётр (Андрей и Сергей промахнулись): $P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(C) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,21$.
Суммируем вероятности этих трёх исходов: $0,06 + 0,09 + 0,21 = 0,36$.
Ответ: 0,36.

5) не попадёт только Пётр
Это означает, что Андрей и Сергей попали, а Пётр промахнулся.
$P(A \cap B \cap \bar{C}) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(\bar{C}) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,06$.
Ответ: 0,06.

6) только один из юношей не попадёт
Это событие означает, что ровно двое попали. Оно состоит из трёх несовместных исходов:
1. Не попал только Андрей (Сергей и Пётр попали): $P(\bar{A} \cap B \cap C) = P(\bar{A}) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,21$.
2. Не попал только Сергей (Андрей и Пётр попали): $P(A \cap \bar{B} \cap C) = P(A) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(C) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,14$.
3. Не попал только Пётр (вероятность найдена в пункте 5): $0,06$.
Суммируем вероятности этих трёх исходов: $0,21 + 0,14 + 0,06 = 0,41$.
Ответ: 0,41.

7) по крайней мере двое юношей попадут
Это событие означает, что попадут либо ровно двое, либо все трое. Эти два исхода несовместны, поэтому их вероятности можно сложить.
Вероятность того, что попадут ровно двое, мы нашли в пункте 6: $0,41$.
Вероятность того, что попадут все трое, мы нашли в пункте 1: $0,14$.
Искомая вероятность: $0,41 + 0,14 = 0,55$.
Ответ: 0,55.