Страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.14. При обстреле смеси изотопов урана пучком нейтронов вероятность начала управляемой ядерной цепной реакции составляет 40%. Какова вероятность того, что из двух таких независимых опытов только во втором начнётся управляемая ядерная цепная реакция?

Обозначим событие А как начало управляемой ядерной цепной реакции в одном опыте. По условию, вероятность этого события составляет 40%.

Вероятность события А: $P(A) = 40\% = 0.4$

Следовательно, вероятность противоположного события $\overline{A}$ (реакция не начнется) равна:

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6$

Нас интересует вероятность сложного события, которое заключается в том, что в первом независимом опыте реакция не начнется, а во втором независимом опыте реакция начнется.

Поскольку опыты независимы, вероятность одновременного наступления этих двух событий равна произведению их вероятностей.

Искомая вероятность $P$ равна:

$P = P(\overline{A}) \cdot P(A) = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24$

Ответ: 0,24

18.15. Согласно демографическим исследованиям вероятность того, что новорождённый ребёнок окажется мальчиком, равна $0.512$. Найдите вероятность того, что в семье, планирующей иметь троих детей, дети родятся в последовательности: мальчик, девочка, мальчик.

Обозначим событие "рождение мальчика" как М, а событие "рождение девочки" как Д. Согласно условию задачи, вероятность рождения мальчика составляет $P(М) = 0,512$.

Поскольку события "рождение мальчика" и "рождение девочки" являются противоположными, сумма их вероятностей равна 1. Следовательно, вероятность рождения девочки $P(Д)$ можно рассчитать как:
$P(Д) = 1 - P(М) = 1 - 0,512 = 0,488$

Нам нужно найти вероятность определенной последовательности рождения троих детей: мальчик, девочка, мальчик (М, Д, М). Рождение каждого ребенка — это независимое событие. Вероятность последовательности независимых событий равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Таким образом, искомая вероятность $P(\text{М, Д, М})$ равна:
$P(\text{М, Д, М}) = P(М) \times P(Д) \times P(М)$

Подставим числовые значения и произведем расчет:
$P(\text{М, Д, М}) = 0,512 \times 0,488 \times 0,512 = 0,127926272$

Ответ: 0,127926272.

18.16. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $p$. Опыт состоит в том, что стрелок стреляет до тех пор, пока не попадёт в мишень. Найдите вероятность того, что ему придётся стрелять 6 раз.

Данная задача описывает последовательность независимых испытаний Бернулли, которая продолжается до первого "успеха". Такая случайная величина имеет геометрическое распределение.

Обозначим события:

• Событие A: стрелок попал в мишень. Вероятность этого события по условию равна $p$, то есть $P(A) = p$.
• Событие B: стрелок промахнулся. Это событие, противоположное событию A, поэтому его вероятность равна $P(B) = 1 - P(A) = 1-p$.

Событие "стрелку придётся стрелять 6 раз" означает, что эксперимент закончился на шестом выстреле. Это могло произойти только в том случае, если первые пять выстрелов были неудачными (промахи), а шестой выстрел оказался удачным (попадание).

Таким образом, мы ищем вероятность следующей последовательности событий:
Промах (1-й выстрел) И Промах (2-й выстрел) И Промах (3-й выстрел) И Промах (4-й выстрел) И Промах (5-й выстрел) И Попадание (6-й выстрел).

Поскольку выстрелы являются независимыми событиями, вероятность их одновременного наступления (то есть вероятность всей последовательности) равна произведению их вероятностей:
$P(\text{искомое событие}) = P(B) \cdot P(B) \cdot P(B) \cdot P(B) \cdot P(B) \cdot P(A)$

Подставим значения вероятностей:
$P(\text{искомое событие}) = (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot p$

Упрощая выражение, получаем:
$P(\text{искомое событие}) = (1-p)^5 \cdot p$

Ответ: $(1-p)^5 p$.

18.17. В некачественной партии деталей вероятность того, что взятая наугад деталь окажется бракованной, составляет 0,2. Контролёр проверяет детали до тех пор, пока не выявит первую бракованную. Найдите вероятность того, что ему придётся проверить 8 деталей.

По условию задачи, контролёр проверяет детали последовательно до тех пор, пока не обнаружит первую бракованную. Нам нужно найти вероятность того, что для этого ему потребуется проверить ровно 8 деталей.

Событие "контролёру пришлось проверить 8 деталей" означает, что первые 7 проверенных им деталей оказались качественными (не бракованными), а восьмая по счёту деталь — бракованной.

Обозначим вероятность того, что случайно взятая деталь окажется бракованной, как $p$. Согласно условию, $p = 0.2$.

Следовательно, вероятность того, что деталь окажется качественной (не бракованной), будет $q$. Это событие является противоположным, поэтому его вероятность равна:
$q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$.

Проверки каждой детали являются независимыми друг от друга событиями. Поэтому, чтобы найти вероятность нужной нам последовательности событий (7 качественных деталей и затем 1 бракованная), мы должны перемножить вероятности каждого из этих событий.

Искомую вероятность $P$ можно рассчитать по формуле геометрического распределения:
$P = \underbrace{q \times q \times \dots \times q}_{7 \text{ раз}} \times p = q^7 \times p$

Подставим числовые значения в формулу:
$P = (0.8)^7 \times 0.2$

Теперь выполним вычисления:
$(0.8)^7 = 0.2097152$
$P = 0.2097152 \times 0.2 = 0.04194304$

Ответ: 0,04194304

18.18. На проспекте установлено два светофора. Вероятность зафиксировать зелёный свет на первом светофоре равна 0,8, а на втором светофоре – 0,9. Вероятность зафиксировать зелёный свет одновременно на обоих светофорах равна 0,7. Найдите вероятность:

1) зафиксировать зелёный свет на первом светофоре при условии, что на втором светофоре также горит зелёный свет;

2) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре также горит зелёный свет;

3) зафиксировать сигнал, запрещающий движение, на первом светофоре при условии, что на втором светофоре горит зелёный свет;

4) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре горит сигнал, запрещающий движение.

Для решения задачи введём обозначения для событий:

Событие $A$ — на первом светофоре зафиксирован зелёный свет. По условию, вероятность этого события $P(A) = 0,8$.

Событие $B$ — на втором светофоре зафиксирован зелёный свет. По условию, вероятность этого события $P(B) = 0,9$.

Событие $A \cap B$ — зелёный свет зафиксирован одновременно на обоих светофорах. По условию, вероятность этого события $P(A \cap B) = 0,7$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать формулу условной вероятности: вероятность события X при условии, что произошло событие Y, вычисляется как $P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$.

1) зафиксировать зелёный свет на первом светофоре при условии, что на втором светофоре также горит зелёный свет;

В данном случае нам нужно найти вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$, то есть $P(A|B)$.

Используем формулу условной вероятности:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Подставляем данные из условия:

$P(A|B) = \frac{0,7}{0,9} = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$.

2) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре также горит зелёный свет;

Здесь требуется найти вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$, то есть $P(B|A)$.

Используем ту же формулу условной вероятности:

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Подставляем данные из условия:

$P(B|A) = \frac{0,7}{0,8} = \frac{7}{8} = 0,875$

Ответ: 0,875.

3) зафиксировать сигнал, запрещающий движение, на первом светофоре при условии, что на втором светофоре горит зелёный свет;

Пусть событие $A'$ — на первом светофоре зафиксирован сигнал, запрещающий движение. Это событие, противоположное событию $A$.

Нам нужно найти вероятность события $A'$ при условии, что произошло событие $B$, то есть $P(A'|B)$.

События $A$ и $A'$ являются противоположными, поэтому при наступлении события $B$ обязательно произойдёт либо $A$, либо $A'$. Это означает, что сумма их условных вероятностей равна единице: $P(A|B) + P(A'|B) = 1$.

Из первого пункта мы уже знаем, что $P(A|B) = \frac{7}{9}$.

Следовательно:

$P(A'|B) = 1 - P(A|B) = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$.

4) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре горит сигнал, запрещающий движение.

Здесь нам нужно найти вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A'$ (на первом светофоре запрещающий сигнал), то есть $P(B|A')$.

Применим формулу условной вероятности: $P(B|A') = \frac{P(B \cap A')}{P(A')}$.

Сначала найдём вероятность события $A'$. Так как $A'$ — событие, противоположное $A$, то:

$P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Теперь найдём вероятность совместного наступления событий $B$ и $A'$ ($P(B \cap A')$). Событие $B$ (зелёный на втором) может произойти вместе с событием $A$ (зелёный на первом) или вместе с событием $A'$ (не зелёный на первом). По формуле полной вероятности:

$P(B) = P(A \cap B) + P(A' \cap B)$

Отсюда выразим и вычислим искомую вероятность:

$P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,9 - 0,7 = 0,2$.

Теперь мы можем рассчитать условную вероятность $P(B|A')$:

$P(B|A') = \frac{P(A' \cap B)}{P(A')} = \frac{0,2}{0,2} = 1$

Ответ: 1.

18.19. Пиццерия предлагает по желанию посетителя добавлять в пиццу бекон и/или грибы. Вероятность того, что посетитель попросит добавить бекон, равна 0,6, а грибы – 0,7. Вероятность же того, что посетитель попросит добавить в пиццу бекон или грибы, равна 0,8. Найдите вероятность того, что:

1) посетитель попросит добавить бекон, если известно, что он уже попросил добавить грибы;

2) посетитель попросит добавить грибы, если известно, что он не любит бекон.

Для решения задачи введем следующие обозначения для событий:
A – посетитель попросит добавить в пиццу бекон.
Г – посетитель попросит добавить в пиццу грибы.

Исходя из условия задачи, мы имеем следующие вероятности:
Вероятность добавления бекона: $P(A) = 0,6$
Вероятность добавления грибов: $P(Г) = 0,7$
Вероятность добавления бекона или грибов: $P(A \cup Г) = 0,8$

Прежде чем отвечать на вопросы, найдем вероятность того, что посетитель попросит добавить и бекон, и грибы одновременно. Это совместная вероятность $P(A \cap Г)$. Воспользуемся формулой сложения вероятностей для двух событий:
$P(A \cup Г) = P(A) + P(Г) - P(A \cap Г)$
Выразим из нее искомую вероятность $P(A \cap Г)$:
$P(A \cap Г) = P(A) + P(Г) - P(A \cup Г)$
Подставим известные значения:
$P(A \cap Г) = 0,6 + 0,7 - 0,8 = 0,5$

1) посетитель попросит добавить бекон, если известно, что он уже попросил добавить грибы;
В этом пункте требуется найти условную вероятность события A (попросит бекон) при условии, что событие Г (попросил грибы) уже произошло. Эта вероятность обозначается как $P(A|Г)$.
Формула для условной вероятности:
$P(A|Г) = \frac{P(A \cap Г)}{P(Г)}$
Мы уже рассчитали $P(A \cap Г) = 0,5$, а $P(Г)$ дана в условии и равна 0,7. Подставим значения в формулу:
$P(A|Г) = \frac{0,5}{0,7} = \frac{5}{7}$
Ответ: $\frac{5}{7}$

2) посетитель попросит добавить грибы, если известно, что он не любит бекон.
Событие "посетитель не любит бекон" означает, что он не попросит его добавить. Это событие, противоположное событию A, и обозначается как $\bar{A}$. Нам нужно найти условную вероятность события Г (попросит грибы) при условии, что произошло событие $\bar{A}$ (не попросил бекон), то есть $P(Г|\bar{A})$.
Формула условной вероятности в данном случае:
$P(Г|\bar{A}) = \frac{P(Г \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$
Сначала найдем вероятность события $\bar{A}$:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4$
Далее найдем вероятность $P(Г \cap \bar{A})$, то есть вероятность того, что посетитель попросит грибы, но не попросит бекон. Эту вероятность можно найти, зная, что событие Г может произойти либо вместе с A, либо вместе с $\bar{A}$:
$P(Г) = P(Г \cap A) + P(Г \cap \bar{A})$
Отсюда:
$P(Г \cap \bar{A}) = P(Г) - P(Г \cap A)$
Подставим известные значения ($P(Г \cap A) = P(A \cap Г) = 0,5$):
$P(Г \cap \bar{A}) = 0,7 - 0,5 = 0,2$
Теперь мы можем вычислить искомую условную вероятность:
$P(Г|\bar{A}) = \frac{0,2}{0,4} = \frac{2}{4} = 0,5$
Ответ: $0,5$