Страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.4. Монету подбрасывают 3 раза. Найдите вероятность того, что при последнем подбрасывании выпадет герб, если в каждом из первых двух подбрасываний выпало число.

Это задача на условную вероятность. Пусть событие A заключается в том, что "при последнем (третьем) подбрасывании выпадет герб", а событие B — в том, что "в каждом из первых двух подбрасываний выпало число". Нам нужно найти вероятность события A при условии, что событие B уже произошло.

Поскольку результат каждого следующего подбрасывания монеты не зависит от результатов предыдущих, эти события являются независимыми. Это означает, что знание о том, что выпало в первые два раза, не меняет вероятности исходов для третьего подбрасывания. Вероятность выпадения герба при любом броске равна $1/2$.

Чтобы убедиться в этом, решим задачу формально, рассмотрев все возможные исходы.

1. Обозначим "Герб" как Г, а "Число" как Ч. При трех подбрасываниях монеты существует $2^3 = 8$ равновероятных элементарных исходов:
{ГГГ, ГГЧ, ГЧГ, ЧГГ, ГЧЧ, ЧГЧ, ЧЧГ, ЧЧЧ}

2. Согласно условию, "в каждом из первых двух подбрасываний выпало число". Это означает, что мы должны рассматривать не все 8 исходов, а только те, которые удовлетворяют этому условию. Таких исходов два:
{ЧЧГ, ЧЧЧ}
Эти два исхода теперь составляют наше новое, сокращенное пространство событий, так как мы знаем, что один из них точно произошел.

3. Нас интересует событие, при котором "при последнем подбрасывании выпадет герб". Среди двух возможных исходов {ЧЧГ, ЧЧЧ} этому условию удовлетворяет только один — ЧЧГ. Этот исход является благоприятным.

4. Вероятность определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов в рамках заданного условия.
Число благоприятных исходов: 1 (исход ЧЧГ).
Общее число исходов при заданном условии: 2 (исходы ЧЧГ и ЧЧЧ).
Искомая вероятность равна:
$P = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5

18.5. В коробке лежат ручки синего и красного цветов. Из коробки наугад последовательно вытягивают две ручки. Составьте дендрограмму этого испытания.

Для построения дендрограммы (дерева вариантов) данного испытания необходимо последовательно рассмотреть все возможные исходы на каждом шаге. Испытание состоит из двух шагов: вытягивание первой ручки и вытягивание второй ручки.

Обозначим возможные цвета ручек: С — синий, К — красный.

Шаг 1: Вытягивание первой ручки
Начало испытания — это корень дерева. Из него выходят две ветви, так как первая вытянутая ручка может быть либо синей, либо красной.

Шаг 2: Вытягивание второй ручки
Для каждого из исходов первого шага есть два варианта для второго. Если первая ручка была синей (С), вторая может быть синей (С) или красной (К). Аналогично, если первая ручка была красной (К), вторая также может быть синей (С) или красной (К). Это предположение справедливо, если мы считаем, что в коробке достаточно ручек каждого цвета (хотя бы по две) или что вытягивание происходит с возвращением.

В результате образуются четыре возможные упорядоченные пары, представляющие собой полные исходы испытания:
1. Первая ручка синяя, вторая ручка синяя. Результат: $(С, С)$.
2. Первая ручка синяя, вторая ручка красная. Результат: $(С, К)$.
3. Первая ручка красная, вторая ручка синяя. Результат: $(К, С)$.
4. Первая ручка красная, вторая ручка красная. Результат: $(К, К)$.

Схематичное представление дендрограммы
Дерево вариантов, или дендрограмма, графически иллюстрирует все эти возможности.
- Начало (Корень дерева)
├─ Ветвь 1: Первая ручка - Синяя (С)
│ ├─ Вторая ручка - Синяя (С) → Исход: $(С, С)$
│ └─ Вторая ручка - Красная (К) → Исход: $(С, К)$
└─ Ветвь 2: Первая ручка - Красная (К)
├─ Вторая ручка - Синяя (С) → Исход: $(К, С)$
└─ Вторая ручка - Красная (К) → Исход: $(К, К)$

Ответ: Дендрограмма испытания представляет собой дерево с двумя уровнями ветвления. На первом уровне от корня отходят две ветви, соответствующие цвету первой вытянутой ручки (синяя или красная). От конца каждой из этих ветвей отходят еще по две ветви, соответствующие цвету второй ручки. В итоге дендрограмма имеет 4 конечных исхода (листья дерева): (Синяя, Синяя), (Синяя, Красная), (Красная, Синяя), (Красная, Красная), что можно записать с помощью обозначений как $(С, С)$, $(С, К)$, $(К, С)$, $(К, К)$.

18.6. В одном ящике лежат шары трёх цветов: красного, синего и белого, а в другом двух цветов: зелёного и чёрного. Из каждой коробки наугад выбирают по одному шару. Составьте дендрограмму этого испытания.

Для решения этой задачи необходимо построить дендрограмму, также известную как дерево возможных вариантов. Испытание состоит из двух последовательных независимых событий: выбор одного шара из первого ящика и выбор одного шара из второго ящика.

Шаг 1: Выбор шара из первого ящика

В первом ящике находятся шары трёх цветов: красный (К), синий (С) и белый (Б). Это означает, что на первом этапе у нас есть 3 возможных исхода. В дендрограмме это будет соответствовать трём основным ветвям, исходящим из начальной точки.

Шаг 2: Выбор шара из второго ящика

Во втором ящике находятся шары двух цветов: зелёный (З) и чёрный (Ч). Для каждого исхода первого шага (для каждого цвета шара, выбранного из первого ящика) есть 2 возможных исхода на втором шаге. Это означает, что от каждой из трёх основных ветвей будет отходить по две более мелкие ветви.

Общее количество всех возможных исходов испытания равно произведению числа исходов на каждом этапе.
Количество исходов = (Число цветов в первом ящике) × (Число цветов во втором ящике)
$N = 3 \times 2 = 6$
Следовательно, всего возможно 6 уникальных пар шаров.

Ответ:

Дендрограмма для данного испытания, показывающая все возможные исходы, имеет следующую структуру, представленную в виде иерархического списка:

• Выбран шар из первого ящика: Красный
  • Выбран шар из второго ящика: Зелёный. Итоговый исход: (Красный, Зелёный)
  • Выбран шар из второго ящика: Чёрный. Итоговый исход: (Красный, Чёрный)
• Выбран шар из первого ящика: Синий
  • Выбран шар из второго ящика: Зелёный. Итоговый исход: (Синий, Зелёный)
  • Выбран шар из второго ящика: Чёрный. Итоговый исход: (Синий, Чёрный)
• Выбран шар из первого ящика: Белый
  • Выбран шар из второго ящика: Зелёный. Итоговый исход: (Белый, Зелёный)
  • Выбран шар из второго ящика: Чёрный. Итоговый исход: (Белый, Чёрный)

18.7. Человек ожидает на остановке автобус или троллейбус и заходит в тот вид транспорта, который придёт первым. Находясь в транспорте, человек садится на сиденье возле окна, если есть такое свободное место. Составьте дендрограмму этого испытания.

Дендрограмма, также известная как дерево испытаний, — это графический способ представления всех возможных исходов случайного эксперимента, который состоит из нескольких последовательных этапов. Чтобы составить дендрограмму для описанной ситуации, необходимо выделить эти этапы и все возможные варианты развития событий на каждом из них.

Этап 1: Прибытие транспорта
Человек на остановке ждет автобус или троллейбус и садится в тот, который придет первым. На этом этапе есть два возможных исхода, которые станут первыми ветвями нашего дерева.

• Пришел автобус.
• Пришел троллейбус.

Этап 2: Выбор места в транспорте
После того как человек вошел в транспорт, он ищет место у окна. Для каждого из видов транспорта (автобус или троллейбус) есть два возможных варианта: свободное место у окна есть, или такого места нет. Это создает второй уровень ветвления в нашей дендрограмме.

• Есть свободное место у окна.
• Нет свободного места у окна.

Дендрограмма испытания
Объединив все этапы и их исходы, мы получим следующую дендрограмму, которая наглядно иллюстрирует все четыре возможных конечных результата испытания:

• Начало (Ожидание на остановке)
  • Пришел автобус
    • Есть свободное место у окна → Исход 1: Поездка на автобусе у окна.
    • Нет свободного места у окна → Исход 2: Поездка на автобусе не у окна.
  • Пришел троллейбус
    • Есть свободное место у окна → Исход 3: Поездка на троллейбусе у окна.
    • Нет свободного места у окна → Исход 4: Поездка на троллейбусе не у окна.

Ответ:
Дендрограмма данного испытания представляет собой дерево. Оно начинается с начального события (ожидание на остановке), от которого отходят две основные ветви, соответствующие типу прибывшего транспорта («автобус» или «троллейбус»). Каждая из этих ветвей, в свою очередь, разветвляется еще на две в зависимости от наличия свободного места у окна («есть место у окна» или «нет места у окна»). Таким образом, испытание имеет четыре возможных конечных исхода, представленных в виде "листьев" дерева на построенной дендрограмме.

18.8. Известно, что $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,5$ и $P(A \cup B) = 0,6$. Найдите:

1) $P(A \cap B);$

2) $P_A(B);$

3) $P_B(A).$

1) $P(A \cap B)$;

Для нахождения вероятности пересечения (совместного наступления) двух событий $A$ и $B$ воспользуемся формулой сложения вероятностей для совместных событий:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Из этой формулы выразим искомую вероятность $P(A \cap B)$:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$
Подставим известные значения из условия: $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,5$ и $P(A \cup B) = 0,6$.
$P(A \cap B) = 0,3 + 0,5 - 0,6 = 0,8 - 0,6 = 0,2$
Ответ: 0,2

2) $P_A(B)$;

Вероятность $P_A(B)$ (также обозначается как $P(B|A)$) — это условная вероятность наступления события $B$ при условии, что событие $A$ уже произошло. Она вычисляется по формуле условной вероятности:
$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Из предыдущего пункта мы нашли, что $P(A \cap B) = 0,2$. По условию задачи, $P(A) = 0,3$.
Подставим эти значения в формулу:
$P_A(B) = \frac{0,2}{0,3} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

3) $P_B(A)$.

Вероятность $P_B(A)$ (также обозначается как $P(A|B)$) — это условная вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже наступило. Формула для ее расчета:
$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Используем найденное ранее значение $P(A \cap B) = 0,2$ и данное по условию значение $P(B) = 0,5$:
$P_B(A) = \frac{0,2}{0,5} = \frac{2}{5} = 0,4$
Ответ: 0,4

18.9. Известно, что $P_A(B) = 0,5$, $P_B(A) = 0,75$ и $P(A \cap B) = 0,25$. Найдите:

1) $P(A)$;

2) $P(B)$;

3) $P(A \cup B)$.

1) P(A);
Для нахождения $P(A)$ воспользуемся формулой условной вероятности: $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
Выразим из нее искомую вероятность $P(A)$:
$P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P_A(B)}$
Подставим известные значения из условия: $P(A \cap B) = 0,25$ и $P_A(B) = 0,5$.
$P(A) = \frac{0,25}{0,5} = 0,5$.
Ответ: $0,5$

2) P(B);
Для нахождения $P(B)$ также воспользуемся формулой условной вероятности: $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Выразим из нее искомую вероятность $P(B)$:
$P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P_B(A)}$
Подставим известные значения: $P(A \cap B) = 0,25$ и $P_B(A) = 0,75$.
$P(B) = \frac{0,25}{0,75} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

3) P(A ∪ B);
Для нахождения вероятности объединения событий $A$ и $B$ используем теорему сложения вероятностей:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Подставим ранее найденные значения $P(A) = 0,5$ и $P(B) = \frac{1}{3}$, а также данное в условии значение $P(A \cap B) = 0,25$:
$P(A \cup B) = 0,5 + \frac{1}{3} - 0,25$
Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,5 = \frac{1}{2}$ и $0,25 = \frac{1}{4}$.
$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$P(A \cup B) = \frac{1 \cdot 6}{12} + \frac{1 \cdot 4}{12} - \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{6 + 4 - 3}{12} = \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{7}{12}$

18.10. На собрании присутствуют 19 человек, из которых 12 женщин и 7 мужчин. Для подсчёта результатов голосования предлагается выбрать счётную комиссию из трёх человек. Членов счётной комиссии выбирают последовательно путём жеребьевки. Известно, что первыми двумя членами комиссии оказались мужчины. Найдите вероятность того, что третьим из выбранных членов счётной комиссии окажется женщина. Составьте дендрограмму этого опыта.

Найдите вероятность того, что третьим из выбранных членов счетной комиссии окажется женщина.

Изначально на собрании присутствует 19 человек: 12 женщин (Ж) и 7 мужчин (М).

По условию задачи, члены счётной комиссии выбираются последовательно. Это означает, что после каждого выбора общее количество людей и количество людей в каждой группе (мужчин и женщин) уменьшается.

Известно, что первым был выбран мужчина. После этого выбора осталось 18 человек: 12 женщин и 6 мужчин.

Вторым также был выбран мужчина. После второго выбора осталось 17 человек: 12 женщин и 5 мужчин.

Теперь нам нужно найти вероятность того, что третий выбранный член комиссии будет женщиной. Выбор производится из оставшихся 17 человек.

Количество благоприятных исходов (выбор женщины) равно 12, так как в группе осталось 12 женщин.

Общее количество возможных исходов равно 17, так как всего осталось 17 человек.

Вероятность этого события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{\text{количество оставшихся женщин}}{\text{общее количество оставшихся людей}} = \frac{12}{17}$

Это условная вероятность: $P(\text{третья - Ж} | \text{первый - М и второй - М}) = \frac{12}{17}$.

Ответ: Вероятность того, что третьим членом комиссии окажется женщина, равна $\frac{12}{17}$.

Составьте дендрограмму этого опыта.

Дендрограмма (или дерево вероятностей) показывает все возможные последовательности выбора трёх членов комиссии. Обозначим выбор мужчины как "М", а выбор женщины как "Ж". В скобках указаны вероятности на каждом шаге и оставшийся состав группы.

• 1-й выбор (из 12 Ж, 7 М; всего 19)
  • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{7}{19}$
    (Осталось: 12 Ж, 6 М; всего 18)
    • 2-й выбор
      • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{6}{18}$
        (Осталось: 12 Ж, 5 М; всего 17)
        • 3-й выбор
          • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{12}{17}$ (итог: ММЖ)
          • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{5}{17}$ (итог: МММ)
      • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{12}{18}$
        (Осталось: 11 Ж, 6 М; всего 17)
        • 3-й выбор
          • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{11}{17}$ (итог: МЖЖ)
          • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{6}{17}$ (итог: МЖМ)
  • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{12}{19}$
    (Осталось: 11 Ж, 7 М; всего 18)
    • 2-й выбор
      • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{7}{18}$
        (Осталось: 11 Ж, 6 М; всего 17)
        • 3-й выбор
          • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{11}{17}$ (итог: ЖМЖ)
          • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{6}{17}$ (итог: ЖММ)
      • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{11}{18}$
        (Осталось: 10 Ж, 7 М; всего 17)
        • 3-й выбор
          • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{10}{17}$ (итог: ЖЖЖ)
          • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{7}{17}$ (итог: ЖЖМ)

Ответ: Дендрограмма опыта представлена выше.

18.11. Из коробки, в которой лежат 20 синих и 15 красных шаров, наугад берут сначала один шар, а потом ещё один. Известно, что первый шар был синим. Вычислите вероятность того, что второй шар окажется красным. Составьте дендрограмму этого опыта.

Вычислите вероятность того, что второй шар окажется красным

Для решения этой задачи воспользуемся понятием условной вероятности.

Пусть событие $A$ заключается в том, что первый вынутый шар был синим, а событие $B$ — в том, что второй вынутый шар оказался красным. Нам нужно найти вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ уже произошло, то есть $P(B|A)$.

Изначальные условия:

• Количество синих шаров: 20
• Количество красных шаров: 15
• Общее количество шаров: $20 + 15 = 35$

По условию, первый шар, который вынули, был синим (событие $A$ произошло). После этого в коробке изменилось количество шаров:

• Количество синих шаров стало: $20 - 1 = 19$
• Количество красных шаров не изменилось: 15
• Новое общее количество шаров: $35 - 1 = 34$

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что второй шар будет красным. Эта вероятность равна отношению количества оставшихся красных шаров к новому общему числу шаров в коробке.

$P(B|A) = \frac{\text{количество красных шаров}}{\text{новое общее количество шаров}} = \frac{15}{34}$

Ответ: Вероятность того, что второй шар окажется красным, при условии, что первый был синим, равна $\frac{15}{34}$.

Составьте дендрограмму этого опыта

Дендрограмма (или дерево вероятностей) показывает все возможные последовательности событий и их вероятности. Обозначим "С" — синий шар, "К" — красный шар.

Первый этап (извлечение первого шара):

• Вероятность вынуть синий шар (С₁): $P(С_1) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$
• Вероятность вынуть красный шар (К₁): $P(К_1) = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

Второй этап (извлечение второго шара):
Вероятности на этом этапе зависят от результата первого этапа, так как в коробке остается 34 шара.

• Если первый шар был синим (С₁): в коробке осталось 19 синих и 15 красных.
  • Вероятность вынуть второй синий шар (С₂): $P(С_2|С_1) = \frac{19}{34}$
  • Вероятность вынуть второй красный шар (К₂): $P(К_2|С_1) = \frac{15}{34}$
• Если первый шар был красным (К₁): в коробке осталось 20 синих и 14 красных.
  • Вероятность вынуть второй синий шар (С₂): $P(С_2|К_1) = \frac{20}{34} = \frac{10}{17}$
  • Вероятность вынуть второй красный шар (К₂): $P(К_2|К_1) = \frac{14}{34} = \frac{7}{17}$

Схематично дендрограмму можно представить так:

 /-- Второй Синий (P = 19/34) /-- Первый Синий ---| / (P = 20/35) \-- Второй Красный (P = 15/34) /Начало \ \ /-- Второй Синий (P = 20/34) \-- Первый Красный --| (P = 15/35) \-- Второй Красный (P = 14/34)

Ответ: Дендрограмма опыта представлена выше в виде описания и схемы.

18.12. После путешествия в Европу у путешественника остались фотографии 10 пейзажей и 15 портретов из Франции и 6 пейзажей и 14 портретов из Италии. Путешественник выбирает наугад одну фотографию. Какова вероятность того, что это будет пейзаж, если известно, что выбранная фотография не является портретом из Франции?

Для решения этой задачи по теории вероятностей нам нужно определить общее число исходов и число благоприятных исходов с учетом заданного условия.

Сначала посчитаем общее количество фотографий каждого типа:

• Пейзажи из Франции: 10
• Портреты из Франции: 15
• Пейзажи из Италии: 6
• Портреты из Италии: 14

Общее количество всех фотографий: $10 + 15 + 6 + 14 = 45$.

В задаче дано условие: "выбранная фотография не является портретом из Франции". Это означает, что мы рассматриваем не все 45 фотографий, а только те, которые удовлетворяют этому условию. Такие задачи решаются с помощью условной вероятности, где мы сужаем пространство элементарных исходов.

Найдем количество фотографий, которые не являются портретами из Франции. Для этого из общего числа фотографий вычтем количество портретов из Франции:

$N = 45 - 15 = 30$

Итак, общее число возможных исходов (с учетом условия) равно 30. Эти 30 фотографий включают в себя:

• 10 пейзажей из Франции
• 6 пейзажей из Италии
• 14 портретов из Италии

Теперь нам нужно найти количество благоприятных исходов. Благоприятный исход — это выбор пейзажа. Найдем общее количество пейзажей:

$M = \text{пейзажи из Франции} + \text{пейзажи из Италии} = 10 + 6 = 16$

Все 16 пейзажей входят в нашу выборку из 30 фотографий (поскольку ни один из них не является портретом из Франции). Таким образом, число благоприятных исходов равно 16.

Вероятность $P$ события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $M$ к общему числу возможных исходов $N$:

$P = \frac{M}{N} = \frac{16}{30}$

Сократим полученную дробь на 2:

$P = \frac{8}{15}$

Ответ: $\frac{8}{15}$

18.13. В букинистическом магазине на полке с детективами стоят 20 книг, из которых 4 в твёрдой обложке и 16 в мягкой, а на полке со сборниками поэзии — 40 книг, из которых 10 в твёрдой обложке и 30 в мягкой. Посетитель магазина берёт наугад одну книгу с этих полок. Какова вероятность того, что это будет сборник поэзии, если известно, что выбранная книга не является детективом в мягкой обложке?

Для решения этой задачи на условную вероятность сначала систематизируем данные о книгах в магазине.
Детективы: всего 20 книг (4 в твёрдой обложке и 16 в мягкой).
Сборники поэзии: всего 40 книг (10 в твёрдой обложке и 30 в мягкой).
Общее количество книг на двух полках: $20 + 40 = 60$.

В задаче дано условие: "выбранная книга не является детективом в мягкой обложке". Это событие, которое уже произошло, и оно изменяет общее количество возможных исходов для нашего выбора. Мы должны исключить из рассмотрения 16 детективов в мягкой обложке.

Таким образом, новое общее число возможных вариантов выбора (размер пространства элементарных событий) составляет:
$N_{новое} = (\text{Всего книг}) - (\text{Детективы в мягкой обложке}) = 60 - 16 = 44$ книги.

Теперь определим количество благоприятных исходов. Благоприятный исход — это выбор сборника поэзии. Все сборники поэзии удовлетворяют заданному условию, так как ни один из них не является детективом в мягкой обложке.
Количество сборников поэзии (число благоприятных исходов) равно 40.

Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов (в рамках нового, суженного пространства).
$P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Новое общее число вариантов}} = \frac{40}{44}$

Для получения окончательного ответа сократим полученную дробь на наибольший общий делитель, который равен 4:
$P = \frac{40 \div 4}{44 \div 4} = \frac{10}{11}$

Ответ: $\frac{10}{11}$