Страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют условной вероятностью?

Условной вероятностью события $A$ при условии, что произошло событие $B$, называют вероятность наступления события $A$, вычисленную в предположении, что событие $B$ уже наступило. Это понятие используется, когда наступление одного события влияет на вероятность наступления другого. Обозначается условная вероятность как $P(A|B)$ и читается как «вероятность $A$ при условии $B$».

Вычисляется условная вероятность по формуле:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
где $P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии наступления события $B$; $P(A \cap B)$ — вероятность совместного наступления (пересечения) событий $A$ и $B$; $P(B)$ — вероятность наступления события $B$. Важным условием является то, что вероятность события $B$ не должна быть равна нулю, то есть $P(B) > 0$.

Суть условной вероятности в том, что знание о произошедшем событии $B$ сужает пространство всех возможных исходов до тех, в которых $B$ наступило. Условная вероятность $P(A|B)$ — это доля тех исходов из нового, суженного пространства, в которых наступает и событие $A$.

Пример:

Бросают стандартный игральный кубик. Найдем вероятность того, что выпало число 4 (событие $A$), если известно, что выпало четное число (событие $B$).

Вероятность события $B$ (выпали числа 2, 4 или 6 из 6 возможных) равна $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Событие «выпало 4 и оно четное» ($A \cap B$) — это просто «выпало 4». Его вероятность $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.

Тогда условная вероятность вычисляется по формуле:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3}$.

Этот результат интуитивно понятен: если мы знаем, что выпало четное число, то у нас есть только три равновозможных исхода {2, 4, 6}, и только один из них (число 4) является благоприятным для события $A$.

Ответ: Условная вероятность $P(A|B)$ — это вероятность наступления события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло. Она вычисляется по формуле $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, где $P(A \cap B)$ — вероятность одновременного наступления обоих событий, а $P(B)$ — вероятность события-условия (причем $P(B)>0$).

2. Какую диаграмму удобно использовать для иллюстрации задач на вычисление условных вероятностей?

Для иллюстрации задач на вычисление условных вероятностей наиболее удобной и наглядной является диаграмма-дерево (или дерево вероятностей). Этот инструмент особенно эффективен для задач, в которых события происходят последовательно, одно за другим, и исход последующего события зависит от исхода предыдущего.

Структура дерева вероятностей позволяет четко визуализировать все возможные исходы сложного эксперимента. Вот как она строится и используется:

1. Эксперимент начинается с корневого узла (точки). Из него выходят ветви, представляющие все возможные исходы первого этапа (события). На каждой ветви указывается ее вероятность. Сумма вероятностей всех ветвей, выходящих из одного узла, всегда должна быть равна 1.
2. Из конца каждой ветви первого уровня проводятся новые ветви, соответствующие возможным исходам второго этапа. Вероятности, которые подписываются на этих ветвях второго уровня, являются условными вероятностями. Например, если первая ветвь соответствует событию $A$, а вторая — событию $B$, то на второй ветви будет указана вероятность $P(B|A)$ (вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ уже произошло).
3. Чтобы найти вероятность конкретной последовательности событий (то есть определенного пути от корня до конца одной из веток), необходимо перемножить вероятности всех ветвей вдоль этого пути. Это является прямой иллюстрацией формулы умножения вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$.
4. Если некоторое событие может произойти в результате нескольких различных последовательностей (нескольких путей на дереве), то его полная вероятность находится как сумма вероятностей всех этих путей. Это наглядно демонстрирует формулу полной вероятности.

Деревья вероятностей делают интуитивно понятным применение сложных формул, таких как формула полной вероятности и формула Байеса, разбивая задачу на простые логические шаги.

Хотя для задач на вероятности можно использовать и другие диаграммы, они менее специализированы для условных вероятностей:

• Диаграммы Венна хорошо показывают отношения между множествами (событиями), но становятся сложными и неинформативными при описании многоэтапных экспериментов.
• Таблицы сопряженности очень удобны, когда исходные данные представлены в виде частот или количества исходов, и позволяют легко вычислять условные вероятности делением чисел в ячейках на итоговые значения по строкам или столбцам. Однако для визуализации именно последовательности событий дерево подходит лучше.

Таким образом, для задач на условную вероятность, особенно связанных с последовательными событиями, дерево вероятностей является наиболее подходящим и интуитивно понятным инструментом.

Ответ: Диаграмма-дерево (дерево вероятностей).

3. Какие два события называют независимыми?

Два события в теории вероятностей называют независимыми, если наступление одного из них никак не влияет на вероятность наступления другого. Иными словами, знание о том, что одно событие произошло, не дает нам никакой новой информации о шансах произойти другого события.

Более строго, с математической точки зрения, два события $A$ и $B$ являются независимыми, если вероятность их одновременного наступления (то есть, пересечения событий $A$ и $B$) равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Это выражается формулой:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
где $P(A)$ — вероятность события $A$, $P(B)$ — вероятность события $B$, а $P(A \cap B)$ — вероятность того, что произойдут оба события.

Эквивалентное определение связано с условной вероятностью: событие $A$ не зависит от события $B$, если условная вероятность $A$ при условии, что $B$ уже произошло, равна безусловной вероятности $A$.
$P(A|B) = P(A)$
Аналогично, $P(B|A) = P(B)$. Это определение наиболее точно отражает интуитивное понятие независимости.

Пример:
Рассмотрим два случайных эксперимента: подбрасывание монеты и бросок игрального кубика.
Пусть событие $A$ — «выпал орёл». Вероятность этого события $P(A) = \frac{1}{2}$.
Пусть событие $B$ — «на кубике выпало 6 очков». Вероятность этого события $P(B) = \frac{1}{6}$.
Эти события интуитивно независимы: результат броска кубика не зависит от результата подбрасывания монеты, и наоборот. Проверим это по формуле.
Вероятность того, что одновременно выпадет орёл И на кубике будет 6 очков, равна произведению их вероятностей:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.
Мы можем проверить это, перечислив все возможные исходы: всего исходов $2 \times 6 = 12$ (Орёл-1, Орёл-2, ..., Решка-6). Благоприятный исход только один (Орёл-6). Таким образом, вероятность действительно равна $\frac{1}{12}$. Так как равенство выполняется, события $A$ и $B$ независимы.

В отличие от этого, зависимыми событиями был бы, например, выбор двух карт из колоды без возвращения. Вероятность вытащить вторую карту определенного достоинства зависит от того, какая карта была вытащена первой.

Ответ: Два события называют независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Это означает, что наступление одного события не изменяет вероятность наступления другого.

4. Какие два события называют зависимыми?

Два случайных события $A$ и $B$ называют зависимыми, если наступление одного из них влияет на вероятность наступления другого. Иными словами, условная вероятность одного события при условии, что другое уже произошло, не равна его безусловной (изначальной) вероятности.

Математически это выражается так: события $A$ и $B$ являются зависимыми, если выполняется хотя бы одно из неравенств:
$P(B|A) \ne P(B)$
или
$P(A|B) \ne P(A)$
Здесь $P(B|A)$ — это условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ уже произошло.

Эквивалентное определение зависимости можно сформулировать через вероятность совместного наступления событий. События $A$ и $B$ зависимы, если вероятность их одновременного происхождения не равна произведению их индивидуальных вероятностей:
$P(A \cap B) \ne P(A) \cdot P(B)$

Пример:
Представим, что в коробке лежат 10 шаров: 7 красных и 3 синих. Из коробки последовательно, без возвращения, достают два шара.
Рассмотрим два события:
Событие A: первый вынутый шар — красный.
Событие B: второй вынутый шар — красный.

Вычислим вероятности:
1. Вероятность того, что первый шар будет красным (событие $A$), равна отношению числа красных шаров к общему числу шаров:
$P(A) = \frac{7}{10}$
2. Теперь найдем вероятность события $B$ (второй шар — красный) при условии, что событие $A$ уже произошло. Если первый шар был красным, то в коробке осталось 9 шаров, из которых 6 красных. Таким образом, условная вероятность события $B$ при условии $A$ равна:
$P(B|A) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Сравним полученную условную вероятность $P(B|A) = \frac{2}{3}$ с безусловной вероятностью $P(B)$. Безусловная вероятность вынуть вторым красный шар (без знания о цвете первого) равна $\frac{7}{10}$ (по симметрии). Так как $P(B|A) = \frac{2}{3} \approx 0.67$, а $P(B) = \frac{7}{10} = 0.7$, то $P(B|A) \ne P(B)$.
Поскольку наступление события $A$ изменило вероятность наступления события $B$, эти события являются зависимыми.

Ответ: Два события называют зависимыми, если наступление одного из них изменяет вероятность наступления другого. Математически это означает, что условная вероятность события $B$ при условии наступления события $A$ не равна безусловной вероятности события $B$, то есть $P(B|A) \ne P(B)$.

5. Что можно сказать о событиях А и В, если $P_A(B) = P(B)$ и $P_B(A) = P(A)$?

Данные условия, $P_A(B) = P(B)$ и $P_B(A) = P(A)$, являются определением независимых событий в теории вероятностей. Рассмотрим это утверждение подробно.

В теории вероятностей условная вероятность события $B$ при условии наступления события $A$ обозначается как $P(B|A)$ (или $P_A(B)$) и определяется по формуле:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
где $P(A \cap B)$ — это вероятность совместного наступления событий $A$ и $B$. Эта формула имеет смысл, если вероятность события $A$ не равна нулю, то есть $P(A) > 0$.

Аналогично, условная вероятность события $A$ при условии наступления события $B$ определяется как:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Эта формула имеет смысл при $P(B) > 0$.

Теперь проанализируем условия из задачи.

1. Анализ первого условия $P_A(B) = P(B)$
Это равенство означает, что вероятность наступления события $B$ не изменяется от того, произошло событие $A$ или нет. Подставим в это равенство формулу условной вероятности:
$\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = P(B)$
Домножив обе части на $P(A)$, получаем:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

2. Анализ второго условия $P_B(A) = P(A)$
Это равенство, в свою очередь, означает, что знание о том, что событие $B$ произошло, не влияет на вероятность наступления события $A$. Подставим сюда соответствующую формулу условной вероятности:
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A)$
Домножив обе части на $P(B)$, мы снова приходим к тому же результату:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Оба условия эквивалентны равенству $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Это равенство является основным определением независимости двух событий. Таким образом, если даны условия $P_A(B) = P(B)$ и $P_B(A) = P(A)$, это означает, что события $A$ и $B$ являются независимыми.

Ответ: События $A$ и $B$ являются независимыми.

6. Как найти вероятность пересечения независимых событий?

Вероятность пересечения (то есть совместного наступления) независимых событий находится с помощью теоремы умножения вероятностей. Два события называются независимыми, если наступление одного из них никак не влияет на вероятность наступления другого.

Чтобы найти вероятность пересечения двух независимых событий A и B, необходимо перемножить их вероятности.

Формула выглядит следующим образом:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Здесь $P(A \cap B)$ – это вероятность того, что произойдут оба события A и B (вероятность их пересечения), $P(A)$ – вероятность события A, а $P(B)$ – вероятность события B.

Это правило можно обобщить на любое количество попарно независимых событий $A_1, A_2, \dots, A_n$ :
$P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot \dots \cdot P(A_n)$

Пример:

Рассмотрим два независимых события: подбрасывание монеты и бросок игрального кубика.
Событие A: на монете выпал "орел". Вероятность этого события $P(A) = \frac{1}{2}$.
Событие B: на кубике выпало "6". Вероятность этого события $P(B) = \frac{1}{6}$.

Вероятность того, что на монете выпадет "орел" и на кубике выпадет "6", равна произведению их вероятностей:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.

Ответ: Чтобы найти вероятность пересечения независимых событий, нужно перемножить вероятности каждого из этих событий.

18.1. Среди учеников вашего класса наугад выбрали одного. Найдите вероятность того, что выбранный ученик имеет отметку «Б» по алгебре, если известно, что выбрали мальчика.

Это задача на условную вероятность, поскольку требуется найти вероятность события при условии, что другое событие уже произошло.

Введем следующие обозначения для событий:
Событие $A$: выбранный ученик имеет отметку «5» по алгебре.
Событие $B$: выбранный ученик является мальчиком.

Мы ищем условную вероятность $P(A|B)$, то есть вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ наступило.

Так как в условии задачи не приведены конкретные числовые данные о классе, решим ее в общем виде. Для этого введем переменные:
Пусть $M$ – общее количество мальчиков в классе.
Пусть $M_5$ – количество мальчиков в классе, которые имеют отметку «5» по алгебре.

Условие «известно, что выбрали мальчика» означает, что наше пространство элементарных исходов сужается. Мы рассматриваем не всех учеников класса, а только мальчиков. Таким образом, общее число возможных исходов в нашем эксперименте равно общему количеству мальчиков, то есть $M$.

Благоприятным исходом является выбор ученика, который является мальчиком и имеет отметку «5» по алгебре. Число таких благоприятных исходов равно $M_5$.

По классическому определению, вероятность события – это отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов. В нашем случае, искомая вероятность равна: $P(A|B) = \frac{\text{число мальчиков с отметкой «5»}}{\text{общее число мальчиков}} = \frac{M_5}{M}$.

Этот же результат можно получить, используя формальную формулу условной вероятности: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Пусть $N$ – общее количество всех учеников в классе.
Вероятность выбрать мальчика (событие $B$) из всего класса равна $P(B) = \frac{M}{N}$.
Вероятность выбрать ученика, который является мальчиком и имеет «5» по алгебре (пересечение событий $A$ и $B$), равна $P(A \cap B) = \frac{M_5}{N}$.
Тогда условная вероятность: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{M_5 / N}{M / N} = \frac{M_5}{M}$.
Как мы видим, оба подхода приводят к одинаковому результату.

Пример для иллюстрации:
Предположим, в классе 30 учеников, среди них 12 мальчиков ($M=12$). Из этих мальчиков 3 имеют отметку «5» по алгебре ($M_5=3$).
Тогда вероятность того, что случайно выбранный ученик окажется с «5» по алгебре, если известно, что это мальчик, составляет: $P = \frac{M_5}{M} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$.

Ответ: Вероятность того, что выбранный ученик имеет отметку «5» по алгебре, при условии, что это мальчик, равна отношению количества мальчиков с отметкой «5» по алгебре к общему количеству мальчиков в классе. Если обозначить общее количество мальчиков в классе как $M$, а количество мальчиков с отметкой «5» по алгебре как $M_5$, то искомая вероятность равна $\frac{M_5}{M}$.

18.2. В таблице представлена информация о возрасте животных питомника. Из всех животных питомника наугад выбрали одно. Найдите вероятность того, что выбранное животное старше года, если известно, что выбрали собаку.

По условию задачи, мы ищем вероятность среди собак, поэтому нас интересует только столбец "Собаки".

1. Найдем общее количество собак в питомнике.
Для этого сложим количество собак из всех возрастных групп, указанных в таблице:
$N = 5 + 3 + 12 = 20$.
Всего в питомнике 20 собак. Это общее число возможных исходов.

2. Найдем количество собак, которые старше года.
Условию "старше года" соответствуют две возрастные группы: "От года до двух лет" и "Старше двух лет".
Сложим количество собак в этих группах:
$m = 3 + 12 = 15$.
Это количество благоприятных исходов.

3. Найдем искомую вероятность.
Вероятность $P$ события равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $N$:
$P = \frac{m}{N} = \frac{15}{20}$
Сократим дробь и переведем в десятичный вид:
$P = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0,75$

Ответ: 0,75

18.3. В коробке лежат несколько шаров одного цвета: либо все красные, либо все синие. Вероятность того, что в коробке лежат красные шары, равна $ \frac{1}{2} $. Из коробки наугад последовательно берут два шара.

1) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным?

2) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным, если первый вытянутый шар также оказался красным?

3) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным, если первый вытянутый шар оказался синим?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Событие $H_R$ — в коробке лежат красные шары.
• Событие $H_B$ — в коробке лежат синие шары.

По условию, вероятность того, что в коробке лежат красные шары, равна $1/2$. Следовательно, $P(H_R) = 1/2$.

Так как в коробке могут быть шары только одного цвета (либо все красные, либо все синие), то события $H_R$ и $H_B$ являются несовместными и образуют полную группу. Значит, вероятность того, что в коробке лежат синие шары, также равна:

$P(H_B) = 1 - P(H_R) = 1 - 1/2 = 1/2$.

Также введем обозначения для событий, связанных с извлечением шаров:

• Событие $A_1$ — первый вытянутый шар красный.
• Событие $B_1$ — первый вытянутый шар синий.
• Событие $A_2$ — второй вытянутый шар красный.

1) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным?

Для нахождения вероятности события $A_2$ воспользуемся формулой полной вероятности. Событие $A_2$ может произойти в двух случаях: если в коробке изначально были красные шары ($H_R$) или если в ней были синие шары ($H_B$).

Формула полной вероятности выглядит так:

$P(A_2) = P(A_2|H_R) \cdot P(H_R) + P(A_2|H_B) \cdot P(H_B)$

Рассчитаем условные вероятности:

• $P(A_2|H_R)$ — вероятность вытянуть второй шар красным, если все шары в коробке красные. Эта вероятность равна 1, так как любой шар из этой коробки будет красным.
• $P(A_2|H_B)$ — вероятность вытянуть второй шар красным, если все шары в коробке синие. Эта вероятность равна 0, так как невозможно вытянуть красный шар из коробки с синими шарами.

Подставим значения в формулу:

$P(A_2) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$

Ответ: $1/2$

2) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным, если первый вытянутый шар также оказался красным?

Нам нужно найти условную вероятность $P(A_2|A_1)$.

По определению условной вероятности:

$P(A_2|A_1) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_1)}$

Сначала найдем вероятность события $A_1$ (первый шар — красный) по формуле полной вероятности:

$P(A_1) = P(A_1|H_R) \cdot P(H_R) + P(A_1|H_B) \cdot P(H_B) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем вероятность события $A_1 \cap A_2$ (оба вытянутых шара — красные). Также используем формулу полной вероятности:

$P(A_1 \cap A_2) = P(A_1 \cap A_2|H_R) \cdot P(H_R) + P(A_1 \cap A_2|H_B) \cdot P(H_B)$

• $P(A_1 \cap A_2|H_R)$ — вероятность того, что оба шара красные, если в коробке все шары красные. Эта вероятность равна 1.
• $P(A_1 \cap A_2|H_B)$ — вероятность того, что оба шара красные, если в коробке все шары синие. Эта вероятность равна 0.

$P(A_1 \cap A_2) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь можем рассчитать искомую условную вероятность:

$P(A_2|A_1) = \frac{1/2}{1/2} = 1$

Логическое объяснение: если первый вытянутый шар оказался красным, это означает, что в коробке не могли находиться синие шары. Следовательно, в коробке находятся только красные шары. Поэтому любой следующий шар, извлеченный из коробки, гарантированно будет красным.

Ответ: $1$

3) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным, если первый вытянутый шар оказался синим?

Нам нужно найти условную вероятность $P(A_2|B_1)$, где $B_1$ — событие, что первый вытянутый шар синий.

Событие "первый вытянутый шар — синий" ($B_1$) означает, что в коробке не могли быть красные шары. Таким образом, мы с уверенностью можем сказать, что в коробке находятся только синие шары (произошло событие $H_B$).

Если в коробке находятся только синие шары, то вероятность вытянуть из нее красный шар (событие $A_2$) равна нулю.

Формально, мы ищем $P(A_2|B_1)$. По определению:

$P(A_2|B_1) = \frac{P(A_2 \cap B_1)}{P(B_1)}$

Рассмотрим событие $A_2 \cap B_1$ — "первый шар синий, а второй красный". Поскольку по условию все шары в коробке одного цвета, это событие является невозможным. Вероятность невозможного события равна 0.

$P(A_2 \cap B_1) = 0$

Следовательно,

$P(A_2|B_1) = \frac{0}{P(B_1)} = 0$

(Вероятность $P(B_1)$ не равна нулю, она равна $1/2$, как можно показать аналогично расчету $P(A_1)$).

Ответ: $0$