Номер 5, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 18. Зависимые и независимые события. Вопросы к параграфу - номер 5, страница 158.

Учебник.

5. Что можно сказать о событиях А и В, если $P_A(B) = P(B)$ и $P_B(A) = P(A)$?

Решение 2.

Данные условия, $P_A(B) = P(B)$ и $P_B(A) = P(A)$, являются определением независимых событий в теории вероятностей. Рассмотрим это утверждение подробно.

В теории вероятностей условная вероятность события $B$ при условии наступления события $A$ обозначается как $P(B|A)$ (или $P_A(B)$) и определяется по формуле:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
где $P(A \cap B)$ — это вероятность совместного наступления событий $A$ и $B$. Эта формула имеет смысл, если вероятность события $A$ не равна нулю, то есть $P(A) > 0$.

Аналогично, условная вероятность события $A$ при условии наступления события $B$ определяется как:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Эта формула имеет смысл при $P(B) > 0$.

Теперь проанализируем условия из задачи.

1. Анализ первого условия $P_A(B) = P(B)$
Это равенство означает, что вероятность наступления события $B$ не изменяется от того, произошло событие $A$ или нет. Подставим в это равенство формулу условной вероятности:
$\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = P(B)$
Домножив обе части на $P(A)$, получаем:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

2. Анализ второго условия $P_B(A) = P(A)$
Это равенство, в свою очередь, означает, что знание о том, что событие $B$ произошло, не влияет на вероятность наступления события $A$. Подставим сюда соответствующую формулу условной вероятности:
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A)$
Домножив обе части на $P(B)$, мы снова приходим к тому же результату:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Оба условия эквивалентны равенству $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Это равенство является основным определением независимости двух событий. Таким образом, если даны условия $P_A(B) = P(B)$ и $P_B(A) = P(A)$, это означает, что события $A$ и $B$ являются независимыми.

Ответ: События $A$ и $B$ являются независимыми.