Номер 17.25, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 17. Операции над событиями. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 17.25, страница 151.

17.25. Петя и Андрей пришли на озеро ловить рыбу. Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом, у Пети равна $ \frac{3}{5} $, а у Андрея $ \frac{1}{2} $. Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом хотя бы у одного из мальчиков, равна $ \frac{7}{10} $. Какова вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом:

1) и у Пети, и у Андрея;

2) только у Пети;

3) только у Андрея;

4) только у одного из мальчиков?

Для решения задачи введем обозначения для событий:

• $A$ — первая рыба, пойманная Петей, окажется карпом.
• $B$ — первая рыба, пойманная Андреем, окажется карпом.

Из условия задачи известны следующие вероятности:

• $P(A) = \frac{3}{5}$
• $P(B) = \frac{1}{2}$
• $P(A \cup B)$ — вероятность того, что карпа поймает хотя бы один из мальчиков, равна $\frac{7}{10}$.

1) и у Пети, и у Андрея;

Необходимо найти вероятность события, при котором карпа поймают оба мальчика, то есть $P(A \cap B)$. Воспользуемся формулой сложения вероятностей для совместных событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Выразим из этой формулы искомую вероятность пересечения событий $P(A \cap B)$:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$.
Подставим известные значения:
$P(A \cap B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \frac{7}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$P(A \cap B) = \frac{6}{10} + \frac{5}{10} - \frac{7}{10} = \frac{6 + 5 - 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

2) только у Пети;

Нужно найти вероятность того, что карпа поймает только Петя. Это событие означает, что Петя поймал карпа (событие $A$), а Андрей не поймал карпа (противоположное событие $\bar{B}$). Искомая вероятность — $P(A \cap \bar{B})$. Эту вероятность можно найти, вычтя из вероятности того, что Петя поймает карпа, вероятность того, что карпа поймают оба:
$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$.
Используя результат из пункта 1, получаем:
$P(A \cap \bar{B}) = \frac{3}{5} - \frac{4}{10} = \frac{6}{10} - \frac{4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

3) только у Андрея;

Требуется найти вероятность того, что карпа поймает только Андрей. Это означает, что Андрей поймал карпа (событие $B$), а Петя не поймал (событие $\bar{A}$). Искомая вероятность — $P(\bar{A} \cap B)$. Найдем ее, вычтя из вероятности того, что Андрей поймает карпа, вероятность того, что карпа поймают оба:
$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
Используя результат из пункта 1, получаем:
$P(\bar{A} \cap B) = \frac{1}{2} - \frac{4}{10} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$

4) только у одного из мальчиков?

Нужно найти вероятность того, что карпа поймает ровно один из мальчиков. Это событие является объединением двух несовместных событий: «карпа поймал только Петя» и «карпа поймал только Андрей». Следовательно, искомая вероятность равна сумме вероятностей, найденных в пунктах 2 и 3:
$P(\text{только один}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$.
Приведем к общему знаменателю:
$P(\text{только один}) = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$.
Альтернативный способ: вероятность того, что карпа поймает ровно один из мальчиков, можно найти как разность вероятностей того, что его поймает хотя бы один, и того, что его поймают оба:
$P(\text{только один}) = P(A \cup B) - P(A \cap B) = \frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$