Номер 17.24, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 17. Операции над событиями. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 17.24, страница 151.

17.24. В неисправном светильнике поменяли на новые выключатель и лампочку. Вероятность того, что лампочка проработает не менее года, составляет 0,96, а выключатель – 0,98. Кроме того, известно, что с вероятностью 0,01 в течение года могут выйти из строя и лампочка, и выключатель. Какова вероятность того, что в течение года придётся заменить:

1) только лампочку;

2) только выключатель;

3) лампочку или выключатель;

4) ровно один из двух новых элементов светильника?

Для решения задачи введем следующие обозначения событий:
A – лампочка проработает не менее года.
B – выключатель проработает не менее года.

Из условия задачи нам известны вероятности этих событий:
$P(A) = 0,96$
$P(B) = 0,98$

Найдем вероятности противоположных событий:
$\overline{A}$ – лампочка выйдет из строя в течение года (потребуется замена).
$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,96 = 0,04$
$\overline{B}$ – выключатель выйдет из строя в течение года (потребуется замена).
$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,98 = 0,02$

Также по условию известно, что с вероятностью 0,01 в течение года могут выйти из строя и лампочка, и выключатель. Это вероятность совместного наступления событий $\overline{A}$ и $\overline{B}$ (пересечения событий):
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0,01$

1) только лампочку;

Нужно найти вероятность того, что выйдет из строя только лампочка. Это означает, что лампочка выйдет из строя (событие $\overline{A}$), а выключатель продолжит работать (событие $B$). Мы ищем вероятность события $\overline{A} \cap B$.
Событие $\overline{A}$ (выход из строя лампочки) состоит из двух несовместных событий: «лампочка вышла из строя и выключатель вышел из строя» ($\overline{A} \cap \overline{B}$) и «лампочка вышла из строя, а выключатель работает» ($\overline{A} \cap B$).
Следовательно, $P(\overline{A}) = P(\overline{A} \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$.
Отсюда можем выразить искомую вероятность:
$P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$
Подставляем известные значения:
$P(\overline{A} \cap B) = 0,04 - 0,01 = 0,03$.
Ответ: 0,03

2) только выключатель;

Нужно найти вероятность того, что выйдет из строя только выключатель. Это означает, что выключатель выйдет из строя (событие $\overline{B}$), а лампочка продолжит работать (событие $A$). Мы ищем вероятность события $A \cap \overline{B}$.
Аналогично предыдущему пункту, событие $\overline{B}$ (выход из строя выключателя) состоит из двух несовместных событий: «выключатель вышел из строя и лампочка вышла из строя» ($\overline{A} \cap \overline{B}$) и «выключатель вышел из строя, а лампочка работает» ($A \cap \overline{B}$).
Следовательно, $P(\overline{B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B}) + P(A \cap \overline{B})$.
Выражаем искомую вероятность:
$P(A \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$
Подставляем известные значения:
$P(A \cap \overline{B}) = 0,02 - 0,01 = 0,01$.
Ответ: 0,01

3) лампочку или выключатель;

Нужно найти вероятность того, что придется заменить лампочку или выключатель. Это означает, что выйдет из строя хотя бы один из элементов. Мы ищем вероятность объединения событий $\overline{A} \cup \overline{B}$.
По теореме сложения вероятностей для совместных событий:
$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$
Подставляем известные значения:
$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0,04 + 0,02 - 0,01 = 0,05$.
Ответ: 0,05

4) ровно один из двух новых элементов светильника?

Нужно найти вероятность того, что придется заменить ровно один из двух элементов. Это событие является суммой двух несовместных событий: «сломалась только лампочка» ($\overline{A} \cap B$) и «сломался только выключатель» ($A \cap \overline{B}$).
Вероятность этого события равна сумме их вероятностей:
$P(\text{ровно один}) = P(\overline{A} \cap B) + P(A \cap \overline{B})$
Из пунктов 1 и 2 мы уже нашли эти вероятности:
$P(\text{ровно один}) = 0,03 + 0,01 = 0,04$.
Ответ: 0,04