Страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.23. Гидрометцентр прогнозирует температуру и влажность воздуха на ближайшие дни. Вероятность того, что влажность повысится до $100\%$ или температура понизится на $5^\circ C$, равна $85\%$, а вероятность того, что и влажность повысится до $100\%$ и температура понизится на $5^\circ C$, – $40\%$. Какова вероятность того, что в ближайшие дни температура воздуха понизится на $5^\circ C$, если вероятность того, что влажность повысится до $100\%$, равна $70\%$?

Для решения этой задачи воспользуемся основной формулой теории вероятностей для суммы двух событий.

Введем обозначения для событий:

• Событие $A$: "влажность повысится до 100%".
• Событие $B$: "температура понизится на 5 °C".

Исходя из условия задачи, мы имеем следующие данные:

• Вероятность того, что влажность повысится до 100% или температура понизится на 5 °C, равна 85%. Это вероятность объединения событий A и B: $P(A \cup B) = 0.85$.
• Вероятность того, что и влажность повысится до 100%, и температура понизится на 5 °C, равна 40%. Это вероятность пересечения (совместного наступления) событий A и B: $P(A \cap B) = 0.40$.
• Вероятность того, что влажность повысится до 100%, равна 70%. Это вероятность события A: $P(A) = 0.70$.

Требуется найти вероятность того, что температура воздуха понизится на 5 °C, то есть найти вероятность события B: $P(B)$.

Формула вероятности объединения двух событий выглядит следующим образом:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Мы можем выразить из этой формулы искомую величину $P(B)$:

$P(B) = P(A \cup B) - P(A) + P(A \cap B)$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу:

$P(B) = 0.85 - 0.70 + 0.40$

$P(B) = 0.15 + 0.40$

$P(B) = 0.55$

Таким образом, вероятность того, что температура воздуха понизится на 5 °C, составляет 0.55, или 55%.

Ответ: 55%

17.24. В неисправном светильнике поменяли на новые выключатель и лампочку. Вероятность того, что лампочка проработает не менее года, составляет 0,96, а выключатель – 0,98. Кроме того, известно, что с вероятностью 0,01 в течение года могут выйти из строя и лампочка, и выключатель. Какова вероятность того, что в течение года придётся заменить:

1) только лампочку;

2) только выключатель;

3) лампочку или выключатель;

4) ровно один из двух новых элементов светильника?

Для решения задачи введем следующие обозначения событий:
A – лампочка проработает не менее года.
B – выключатель проработает не менее года.

Из условия задачи нам известны вероятности этих событий:
$P(A) = 0,96$
$P(B) = 0,98$

Найдем вероятности противоположных событий:
$\overline{A}$ – лампочка выйдет из строя в течение года (потребуется замена).
$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,96 = 0,04$
$\overline{B}$ – выключатель выйдет из строя в течение года (потребуется замена).
$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,98 = 0,02$

Также по условию известно, что с вероятностью 0,01 в течение года могут выйти из строя и лампочка, и выключатель. Это вероятность совместного наступления событий $\overline{A}$ и $\overline{B}$ (пересечения событий):
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0,01$

1) только лампочку;

Нужно найти вероятность того, что выйдет из строя только лампочка. Это означает, что лампочка выйдет из строя (событие $\overline{A}$), а выключатель продолжит работать (событие $B$). Мы ищем вероятность события $\overline{A} \cap B$.
Событие $\overline{A}$ (выход из строя лампочки) состоит из двух несовместных событий: «лампочка вышла из строя и выключатель вышел из строя» ($\overline{A} \cap \overline{B}$) и «лампочка вышла из строя, а выключатель работает» ($\overline{A} \cap B$).
Следовательно, $P(\overline{A}) = P(\overline{A} \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$.
Отсюда можем выразить искомую вероятность:
$P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$
Подставляем известные значения:
$P(\overline{A} \cap B) = 0,04 - 0,01 = 0,03$.
Ответ: 0,03

2) только выключатель;

Нужно найти вероятность того, что выйдет из строя только выключатель. Это означает, что выключатель выйдет из строя (событие $\overline{B}$), а лампочка продолжит работать (событие $A$). Мы ищем вероятность события $A \cap \overline{B}$.
Аналогично предыдущему пункту, событие $\overline{B}$ (выход из строя выключателя) состоит из двух несовместных событий: «выключатель вышел из строя и лампочка вышла из строя» ($\overline{A} \cap \overline{B}$) и «выключатель вышел из строя, а лампочка работает» ($A \cap \overline{B}$).
Следовательно, $P(\overline{B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B}) + P(A \cap \overline{B})$.
Выражаем искомую вероятность:
$P(A \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$
Подставляем известные значения:
$P(A \cap \overline{B}) = 0,02 - 0,01 = 0,01$.
Ответ: 0,01

3) лампочку или выключатель;

Нужно найти вероятность того, что придется заменить лампочку или выключатель. Это означает, что выйдет из строя хотя бы один из элементов. Мы ищем вероятность объединения событий $\overline{A} \cup \overline{B}$.
По теореме сложения вероятностей для совместных событий:
$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$
Подставляем известные значения:
$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0,04 + 0,02 - 0,01 = 0,05$.
Ответ: 0,05

4) ровно один из двух новых элементов светильника?

Нужно найти вероятность того, что придется заменить ровно один из двух элементов. Это событие является суммой двух несовместных событий: «сломалась только лампочка» ($\overline{A} \cap B$) и «сломался только выключатель» ($A \cap \overline{B}$).
Вероятность этого события равна сумме их вероятностей:
$P(\text{ровно один}) = P(\overline{A} \cap B) + P(A \cap \overline{B})$
Из пунктов 1 и 2 мы уже нашли эти вероятности:
$P(\text{ровно один}) = 0,03 + 0,01 = 0,04$.
Ответ: 0,04

17.25. Петя и Андрей пришли на озеро ловить рыбу. Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом, у Пети равна $ \frac{3}{5} $, а у Андрея $ \frac{1}{2} $. Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом хотя бы у одного из мальчиков, равна $ \frac{7}{10} $. Какова вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом:

1) и у Пети, и у Андрея;

2) только у Пети;

3) только у Андрея;

4) только у одного из мальчиков?

Для решения задачи введем обозначения для событий:

• $A$ — первая рыба, пойманная Петей, окажется карпом.
• $B$ — первая рыба, пойманная Андреем, окажется карпом.

Из условия задачи известны следующие вероятности:

• $P(A) = \frac{3}{5}$
• $P(B) = \frac{1}{2}$
• $P(A \cup B)$ — вероятность того, что карпа поймает хотя бы один из мальчиков, равна $\frac{7}{10}$.

1) и у Пети, и у Андрея;

Необходимо найти вероятность события, при котором карпа поймают оба мальчика, то есть $P(A \cap B)$. Воспользуемся формулой сложения вероятностей для совместных событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Выразим из этой формулы искомую вероятность пересечения событий $P(A \cap B)$:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$.
Подставим известные значения:
$P(A \cap B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \frac{7}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$P(A \cap B) = \frac{6}{10} + \frac{5}{10} - \frac{7}{10} = \frac{6 + 5 - 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

2) только у Пети;

Нужно найти вероятность того, что карпа поймает только Петя. Это событие означает, что Петя поймал карпа (событие $A$), а Андрей не поймал карпа (противоположное событие $\bar{B}$). Искомая вероятность — $P(A \cap \bar{B})$. Эту вероятность можно найти, вычтя из вероятности того, что Петя поймает карпа, вероятность того, что карпа поймают оба:
$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$.
Используя результат из пункта 1, получаем:
$P(A \cap \bar{B}) = \frac{3}{5} - \frac{4}{10} = \frac{6}{10} - \frac{4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

3) только у Андрея;

Требуется найти вероятность того, что карпа поймает только Андрей. Это означает, что Андрей поймал карпа (событие $B$), а Петя не поймал (событие $\bar{A}$). Искомая вероятность — $P(\bar{A} \cap B)$. Найдем ее, вычтя из вероятности того, что Андрей поймает карпа, вероятность того, что карпа поймают оба:
$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
Используя результат из пункта 1, получаем:
$P(\bar{A} \cap B) = \frac{1}{2} - \frac{4}{10} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$

4) только у одного из мальчиков?

Нужно найти вероятность того, что карпа поймает ровно один из мальчиков. Это событие является объединением двух несовместных событий: «карпа поймал только Петя» и «карпа поймал только Андрей». Следовательно, искомая вероятность равна сумме вероятностей, найденных в пунктах 2 и 3:
$P(\text{только один}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$.
Приведем к общему знаменателю:
$P(\text{только один}) = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$.
Альтернативный способ: вероятность того, что карпа поймает ровно один из мальчиков, можно найти как разность вероятностей того, что его поймает хотя бы один, и того, что его поймают оба:
$P(\text{только один}) = P(A \cup B) - P(A \cap B) = \frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$

17.26. Монету подбрасывают дважды. Какова вероятность того, что при втором подбрасывании выпадет герб, если при первом подбрасывании выпало число?

Эта задача на условную вероятность. Нам нужно найти вероятность события A (при втором подбрасывании выпадет герб) при условии, что событие B (при первом подбрасывании выпало число) уже произошло.

Ключевым свойством данного эксперимента является независимость событий. Результат второго подбрасывания монеты никак не зависит от результата первого. Тот факт, что в первый раз выпало число, не изменяет вероятностей исходов для второго броска.

Вероятность выпадения герба при любом одиночном броске стандартной монеты составляет $ \frac{1}{2} $, так как существует два равновероятных исхода (герб и число), и только один из них является благоприятным. Поскольку события независимы, эта вероятность не меняется.

Таким образом, вероятность того, что при втором подбрасывании выпадет герб, равна $ \frac{1}{2} $.

Этот же результат можно получить, проанализировав полное пространство элементарных исходов. При двукратном подбрасывании монеты есть 4 равновероятных исхода (обозначим "Г" – герб, "Ч" – число):
1. ГГ (герб, герб)
2. ГЧ (герб, число)
3. ЧГ (число, герб)
4. ЧЧ (число, число)

Условие задачи "при первом подбрасывании выпало число" означает, что мы должны рассматривать только те исходы, которые уже произошли в соответствии с этим условием. Это сужает наше пространство возможных исходов до двух: ЧГ и ЧЧ.

Теперь, в рамках этого нового, сокращенного пространства исходов {ЧГ, ЧЧ}, нам нужно найти вероятность того, что "при втором подбрасывании выпадет герб". Этому условию удовлетворяет только один из двух исходов — ЧГ.

Вероятность P вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов (в рамках заданного условия):
$P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число возможных исходов}} = \frac{1}{2}$

Ответ: 0,5

17.27. Кубик подбрасывают один раз. Событие $A$ состоит в том, что на кубике выпадает чётное число.

1) Найдите вероятность события $A$.

2) Найдите вероятность события $A$, если известно, что на кубике выпало нечётное число.

3) Найдите вероятность события $A$, если известно, что на кубике выпала двойка.

При подбрасывании стандартного игрального кубика есть 6 равновозможных исходов — выпадение чисел от 1 до 6. Это наше пространство элементарных исходов. Общее число исходов $n=6$.

Событие А — это выпадение чётного числа. Благоприятствующими для этого события исходами являются: 2, 4, 6.

Число исходов, благоприятствующих событию А, равно $m=3$.

Вероятность события А вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: 0.5

Это задача на условную вероятность. Нам дано дополнительное условие: на кубике выпало нечётное число. Это означает, что пространство возможных исходов сократилось. Теперь возможны только исходы {1, 3, 5}. Общее число исходов в новой, условной ситуации, равно 3.

Событие А — выпадение чётного числа. Мы должны проверить, сколько из новых возможных исходов {1, 3, 5} являются чётными.

Среди чисел 1, 3 и 5 нет ни одного чётного. Следовательно, число благоприятных исходов для события А в данных условиях равно 0.

Таким образом, вероятность события А при условии, что выпало нечётное число, равна:

$P(\text{А | выпало нечётное}) = \frac{0}{3} = 0$

По-другому, событие "выпало чётное число" и событие "выпало нечётное число" являются несовместными, то есть не могут произойти одновременно. Поэтому, если известно, что одно из них произошло, вероятность другого равна нулю.

Ответ: 0

Это также задача на условную вероятность. Новое условие: на кубике выпала двойка.

Это означает, что исход эксперимента нам точно известен — это {2}. Пространство возможных исходов сократилось до одного-единственного исхода.

Событие А — это выпадение чётного числа. Мы должны проверить, является ли наш известный исход {2} благоприятным для события А.

Число 2 является чётным, поэтому исход "выпала двойка" благоприятствует событию А.

Так как мы точно знаем, что выпала двойка, то событие "выпало чётное число" становится достоверным, поскольку 2 — это чётное число. Вероятность достоверного события всегда равна 1.

$P(\text{А | выпала двойка}) = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: 1