Страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие события называют несовместными?

В теории вероятностей два или несколько событий называют несовместными (или взаимоисключающими), если наступление одного из них в данном испытании исключает возможность наступления других событий в том же самом испытании. Иными словами, несовместные события не могут произойти одновременно.

Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1: Подбрасывание монеты. События «выпал орёл» и «выпала решка» являются несовместными. При одном подбрасывании монеты не может одновременно выпасть и орёл, и решка.
Пример 2: Бросок игральной кости. События «выпало 1 очко», «выпало 2 очка», ..., «выпало 6 очков» являются попарно несовместными, так как в результате одного броска может выпасть только одно определённое число очков. Аналогично, события «выпало чётное число очков» и «выпало нечётное число очков» также несовместны.
Пример совместных событий (для сравнения): При броске игральной кости событие А – «выпало чётное число» и событие B – «выпало число, большее 3» являются совместными. Они могут произойти одновременно, если выпадет 4 или 6, так как эти исходы удовлетворяют обоим условиям.

Математическое определение:
События A и B называются несовместными, если их пересечение (то есть множество исходов, благоприятствующих обоим событиям одновременно) является пустым множеством ($ \emptyset $).
Это записывается с помощью формулы: $ A \cap B = \emptyset $
Следовательно, вероятность совместного наступления несовместных событий равна нулю: $ P(A \cap B) = 0 $.

Это свойство очень важно для вычисления вероятностей. Для несовместных событий справедлива теорема сложения вероятностей в её простейшей форме: вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из двух несовместных событий, равна сумме их вероятностей.
Формула: $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $.
Например, вероятность того, что при броске кости выпадет 1 или 2 (события несовместны), равна $ P(выпадет \ 1 \ или \ 2) = P(выпадет \ 1) + P(выпадет \ 2) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.

Ответ: Несовместными называют такие события, которые не могут произойти одновременно в рамках одного и того же испытания. Наступление одного из них полностью исключает наступление другого.

2. Какое событие называют объединением двух событий и как его обозначают?

В теории вероятностей объединением (или суммой) двух случайных событий $A$ и $B$ называют третье событие $C$, которое заключается в том, что в результате испытания произойдет хотя бы одно из событий $A$ или $B$. Иными словами, событие-объединение наступает, если наступает событие $A$, или наступает событие $B$, или наступают оба события $A$ и $B$ одновременно.

Если рассматривать события как множества элементарных исходов, то объединение событий $A$ и $B$ – это новое множество, которое содержит все элементарные исходы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств ($A$ или $B$).

Для обозначения объединения событий $A$ и $B$ используются следующие символы:

• $A \cup B$ – это стандартное математическое обозначение из теории множеств. Читается как «А объединение Б».
• $A + B$ – это обозначение, часто используемое в теории вероятностей для суммы событий. Например, в формуле вероятности суммы событий: $P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$.
• $A \text{ или } B$ – логическое обозначение.

Пример:

Проводится эксперимент по броску игральной кости (кубика с 6 гранями). Рассмотрим два события:

• Событие $A$: «выпало четное число». Множество исходов для $A$ это $\{2, 4, 6\}$.
• Событие $B$: «выпало число, большее 3». Множество исходов для $B$ это $\{4, 5, 6\}$.

Объединением этих событий будет событие $C = A \cup B$: «выпало четное число или число, большее 3». Чтобы найти исходы этого нового события, нужно объединить множества исходов для $A$ и $B$: $\{2, 4, 6\} \cup \{4, 5, 6\} = \{2, 4, 5, 6\}$. Таким образом, событие $C$ произойдет, если на кубике выпадет 2, 4, 5 или 6.

Ответ: Объединением двух событий $A$ и $B$ называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий $A$ или $B$. Основные обозначения: $A \cup B$ и $A + B$.

3. Чему равна вероятность объединения двух несовместных событий?

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к основным понятиям и аксиомам теории вероятностей.

Сначала дадим определение. Два случайных события называются несовместными (или взаимоисключающими), если они не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания. То есть, наступление одного из них исключает наступление другого. Например, при однократном броске игральной кости события «выпала 1» и «выпала 6» являются несовместными. Для двух несовместных событий $A$ и $B$ вероятность их одновременного наступления (пересечения) равна нулю: $P(A \cap B) = 0$.

Объединением (или суммой) двух событий $A$ и $B$ называется событие $A \cup B$, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из этих событий (или $A$, или $B$). Для нахождения вероятности объединения двух произвольных событий существует общая формула, называемая теоремой сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Эта формула учитывает, что если события могут произойти вместе (являются совместными), то вероятность их общей части $P(A \cap B)$ нужно вычесть, чтобы не посчитать её дважды.

Однако, в случае несовместных событий, как было сказано ранее, $P(A \cap B) = 0$. Подставляя это значение в общую формулу, мы получаем частный случай теоремы сложения, который и является ответом на поставленный вопрос: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0$
Следовательно, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Это правило также известно как аксиома сложения вероятностей для несовместных событий.

Ответ: Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. Если $A$ и $B$ являются несовместными событиями, то вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них, вычисляется по формуле: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

4. Какое событие называют пересечением двух событий и как его обозначают?

В теории вероятностей пересечением (или произведением) двух событий $A$ и $B$ называют третье событие, которое заключается в совместном наступлении этих событий. То есть, событие-пересечение происходит тогда и только тогда, когда в результате испытания происходят и событие $A$, и событие $B$.

Для наглядности рассмотрим пример с подбрасыванием игрального кубика, у которого 6 граней.

Пусть событие $A$ заключается в том, что «выпало чётное число очков». Этому событию соответствуют исходы {2, 4, 6}.
Пусть событие $B$ заключается в том, что «выпало число очков, кратное трём». Этому событию соответствуют исходы {3, 6}.

Пересечением событий $A$ и $B$ будет новое событие, которое можно описать как «выпало чётное число очков, кратное трём». Чтобы это событие произошло, исход должен быть благоприятным и для $A$, и для $B$. Единственный такой исход — это {6}.

Для обозначения операции пересечения событий используются следующие символы:

• $A \cap B$ — это стандартное обозначение, заимствованное из теории множеств, где символ $\cap$ означает пересечение. Читается как «А пересечение Б».
• $A \cdot B$ или просто $AB$ — такое обозначение также широко используется и называется «произведением событий». Оно особенно часто встречается при вычислении вероятностей.

Таким образом, если $C$ — это пересечение событий $A$ и $B$, то можно записать $C = A \cap B$ или $C = A \cdot B$.

Ответ: Пересечением двух событий $A$ и $B$ является событие, которое наступает, если и только если наступают оба события $A$ и $B$. Для обозначения пересечения используются знаки $A \cap B$ или $A \cdot B$ (произведение событий).

5. Как можно вычислить вероятность объединения двух событий?

Вероятность объединения (или суммы) двух событий, A и B, представляет собой вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий. Способ вычисления зависит от того, являются ли события совместными (могут произойти одновременно) или несовместными (не могут произойти одновременно).

Для совместных событий

Совместные события — это события, которые могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания. Например, если из колоды карт вытягивается одна карта, то события «вытянута карта пиковой масти» и «вытянут туз» являются совместными, так как можно вытянуть пикового туза.

Для вычисления вероятности объединения двух совместных событий используется общая теорема сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

В этой формуле: $P(A \cup B)$ — это вероятность того, что произойдет событие A, или событие B, или оба вместе; $P(A)$ — вероятность события A; $P(B)$ — вероятность события B; $P(A \cap B)$ — вероятность их одновременного наступления (пересечения). Член $P(A \cap B)$ вычитается для того, чтобы исключить двойной подсчет исходов, благоприятных для обоих событий.

Ответ: Вероятность объединения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного наступления.

Для несовместных событий

Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно в результате одного испытания. Например, при однократном броске игральной кости события «выпало 1 очко» и «выпало 6 очков» являются несовместными.

Поскольку несовместные события не могут произойти вместе, вероятность их пересечения равна нулю: $P(A \cap B) = 0$. В этом случае общая формула сложения вероятностей упрощается и принимает вид теоремы сложения для несовместных событий:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B)$

Таким образом, для нахождения вероятности объединения двух несовместных событий достаточно просто сложить их вероятности.

Ответ: Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

6. Какое событие называют дополнением события и как его обозначают?

В теории вероятностей дополнением события $A$ (также его называют противоположным событием) называют событие, которое наступает в том и только в том случае, когда не наступает событие $A$. Иными словами, дополнение к событию $A$ состоит из всех элементарных исходов эксперимента, которые не являются благоприятными для события $A$.

Например, пусть проводится эксперимент — бросок игральной кости. Рассмотрим событие $A$ = "выпало четное число очков" (то есть исходы 2, 4, 6). Тогда дополнением к событию $A$ будет событие, заключающееся в том, что "выпало нечетное число очков" (исходы 1, 3, 5), так как оно происходит ровно в тех случаях, когда событие $A$ не происходит.

Для обозначения дополнения к событию $A$ принято использовать черту над буквой, обозначающей событие: $\bar{A}$. Реже, но также используются обозначения $A'$ или $A^c$.

Важнейшим свойством дополнения является то, что сумма вероятностей события и его дополнения всегда равна единице. Это связано с тем, что в результате эксперимента обязательно произойдет либо само событие, либо его дополнение. Это свойство выражается формулой:
$P(A) + P(\bar{A}) = 1$
Из этой формулы следует полезное для решения задач соотношение:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Ответ: Дополнением события $A$ называют событие, которое заключается в том, что событие $A$ не наступает. Обозначается такое событие как $\bar{A}$.

7. Как можно вычислить вероятность дополнения события?

Чтобы вычислить вероятность дополнения события, необходимо из единицы вычесть вероятность самого этого события.

Дополнением к событию A (или противоположным событием) называют событие Ā (читается "А с чертой"), которое состоит в том, что событие A не произошло. Событие A и его дополнение Ā являются взаимоисключающими (не могут произойти одновременно) и вместе составляют все возможные исходы эксперимента (образуют полную группу событий). Поэтому сумма их вероятностей всегда равна 1.

$P(A) + P(\text{Ā}) = 1$

Из этого фундаментального свойства выводится формула для нахождения вероятности дополнения. Для этого нужно из 1 вычесть вероятность наступления исходного события:

$P(\text{Ā}) = 1 - P(A)$

Пример:
Пусть вероятность того, что при выстреле стрелок попадет в мишень (событие A), равна $P(A) = 0.85$.
Тогда событием-дополнением Ā будет "стрелок промахнулся".
Вероятность этого дополнения вычисляется следующим образом:
$P(\text{Ā}) = 1 - P(A) = 1 - 0.85 = 0.15$.

Этот подход очень удобен в задачах, где напрямую вычислить вероятность интересующего события сложно, но легко найти вероятность того, что оно не произойдет.

Ответ: Вероятность дополнения события вычисляется по формуле $P(\text{Ā}) = 1 - P(A)$, где $P(A)$ — это вероятность исходного события, а $P(\text{Ā})$ — вероятность его дополнения.

17.1. Являются ли события $A$ и $B$ несовместными, если опыт состоит в том, что:

1) монету подбрасывают один раз: $A$ — «выпал герб», $B$ — «выпало число»;

2) игральный кубик подбрасывают два раза: $A$ — «выпала единица при первом броске», $B$ — «выпала шестёрка при втором броске»;

3) в мишень стреляют два раза: $A$ — «в мишень попали дважды», $B$ — «в мишень попали ровно один раз»?

Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании. Иными словами, они не могут произойти одновременно. Математически это означает, что их пересечение является пустым множеством, то есть не существует элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям одновременно: $A \cap B = \emptyset$.

1) монету подбрасывают один раз: A — «выпал герб», B — «выпало число»;

В данном опыте всего два возможных исхода: выпадение «герба» (событие A) или выпадение «числа» (решки, событие B). Эти два исхода не могут произойти одновременно при одном броске монеты. Если gerçekleşti событие A, то событие B не может произойти, и наоборот. Следовательно, события A и B являются несовместными.

Ответ: События A и B являются несовместными.

2) игральный кубик подбрасывают два раза: A — «выпала единица при первом броске», B — «выпала шестёрка при втором броске»;

Результат первого броска не влияет на результат второго. Событие A (единица при первом броске) и событие B (шестёрка при втором броске) могут произойти вместе. Например, если результатом двух бросков будет пара чисел (1, 6), то оба события A и B наступят. Так как существует исход, при котором оба события происходят одновременно, они не являются несовместными. Такие события называются совместными.

Ответ: События A и B не являются несовместными (являются совместными).

3) в мишень стреляют два раза: A — «в мишень попали дважды», B — «в мишень попали ровно один раз»?

Событие A означает, что количество попаданий в мишень равно двум. Событие B означает, что количество попаданий равно одному. В рамках одного и того же опыта (серии из двух выстрелов) количество попаданий является одним конкретным числом (0, 1 или 2). Невозможно, чтобы число попаданий было одновременно равно и двум, и одному. Таким образом, наступление события A исключает наступление события B, и наоборот. Эти события не могут произойти вместе.

Ответ: События A и B являются несовместными.

17.2. Школьный библиотекарь берёт наугад один из учебников. Среди следующих событий найдите пары несовместных:

A – «взять учебник по математике»;

B – «взять учебник для 9 класса»;

C – «взять учебник по физике для 10 класса»;

D – «взять учебник, изданный до 2010 года»;

E – «взять учебник по гуманитарному предмету».

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания. То есть наступление одного события исключает наступление другого. В данном случае испытание — это выбор одного учебника. Нам нужно проанализировать все пары событий и определить, могут ли они произойти одновременно.

Пара A и B
Событие A: «взят учебник по математике».
Событие B: «взят учебник для 9 класса».
Эти два события могут произойти одновременно, если будет выбран учебник по математике для 9 класса. Поскольку такие учебники существуют, эти события являются совместными.
Ответ: события A и B совместные.

Пара A и C
Событие A: «взят учебник по математике».
Событие C: «взят учебник по физике для 10 класса».
Один и тот же учебник не может быть одновременно и по математике, и по физике, так как это разные учебные предметы. Следовательно, эти события не могут произойти одновременно и являются несовместными.
Ответ: события A и C несовместные.

Пара A и D
Событие A: «взят учебник по математике».
Событие D: «взят учебник, изданный до 2010 года».
Может существовать учебник по математике, изданный до 2010 года. Следовательно, эти события могут произойти одновременно и являются совместными.
Ответ: события A и D совместные.

Пара A и E
Событие A: «взят учебник по математике».
Событие E: «взят учебник по гуманитарному предмету».
Математика относится к точным наукам, а не к гуманитарным. Учебник не может быть одновременно по математике и по гуманитарному предмету. Следовательно, эти события несовместные.
Ответ: события A и E несовместные.

Пара B и C
Событие B: «взят учебник для 9 класса».
Событие C: «взят учебник по физике для 10 класса».
Учебник предназначен для одного конкретного класса. Он не может быть одновременно для 9-го и 10-го класса. Следовательно, эти события несовместные.
Ответ: события B и C несовместные.

Пара B и D
Событие B: «взят учебник для 9 класса».
Событие D: «взят учебник, изданный до 2010 года».
Может существовать учебник для 9 класса, изданный до 2010 года. Следовательно, эти события являются совместными.
Ответ: события B и D совместные.

Пара B и E
Событие B: «взят учебник для 9 класса».
Событие E: «взят учебник по гуманитарному предмету».
Могут существовать учебники по гуманитарным предметам (например, по истории или литературе) для 9 класса. Следовательно, эти события являются совместными.
Ответ: события B и E совместные.

Пара C и D
Событие C: «взят учебник по физике для 10 класса».
Событие D: «взят учебник, изданный до 2010 года».
Может существовать учебник по физике для 10 класса, который был издан до 2010 года. Следовательно, эти события являются совместными.
Ответ: события C и D совместные.

Пара C и E
Событие C: «взят учебник по физике для 10 класса».
Событие E: «взят учебник по гуманитарному предмету».
Физика — это естественная наука, она не относится к гуманитарным предметам. Учебник не может быть одновременно по физике и по гуманитарному предмету. Следовательно, эти события несовместные.
Ответ: события C и E несовместные.

Пара D и E
Событие D: «взят учебник, изданный до 2010 года».
Событие E: «взят учебник по гуманитарному предмету».
Может существовать учебник по гуманитарному предмету, который был издан до 2010 года. Следовательно, эти события являются совместными.
Ответ: события D и E совместные.

Таким образом, мы нашли следующие пары несовместных событий: (A, C), (A, E), (B, C), (C, E).