Страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.10. В результате жеребьёвки спортсмен на старте получает повязку с номером от 1 до 10. В этом испытании рассматривают такие события:

$A$ – «номер спортсмена больше 6»;

$B$ – «номер спортсмена чётный»;

$C$ – «номер спортсмена делится на 5»;

$D$ – «номер спортсмена является простым числом».

Какие номера может получить спортсмен, если произойдёт событие:

1) $\bar{A}$;

2) $B \cup D$;

3) $A \cap D$;

4) $A \cup \bar{C}$;

5) $A \cap B \cap C$;

6) $B \cup C \cup D$?

Для решения задачи сначала определим множества исходов для каждого из событий A, B, C и D. Пространство элементарных исходов (все возможные номера спортсменов) — это числа от 1 до 10, то есть $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

• Событие A: «номер спортсмена больше 6». Этому условию соответствуют номера 7, 8, 9, 10. Таким образом, $A = \{7, 8, 9, 10\}$.
• Событие B: «номер спортсмена чётный». Этому условию соответствуют номера 2, 4, 6, 8, 10. Таким образом, $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$.
• Событие C: «номер спортсмена делится на 5». Этому условию соответствуют номера 5, 10. Таким образом, $C = \{5, 10\}$.
• Событие D: «номер спортсмена является простым числом». Простые числа в диапазоне от 1 до 10 — это 2, 3, 5, 7 (число 1 не является простым). Таким образом, $D = \{2, 3, 5, 7\}$.

Теперь найдем, какие номера может получить спортсмен для каждого из указанных составных событий.

1) $\bar{A}$

Событие $\bar{A}$ (противоположное событию A) означает, что «номер спортсмена не больше 6», то есть «номер спортсмена меньше или равен 6». Это все номера из общего множества $\Omega$, которые не входят в множество A.

$\bar{A} = \Omega \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \setminus \{7, 8, 9, 10\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2) $B \cup D$

Событие $B \cup D$ (объединение событий B и D) означает, что «номер спортсмена чётный или является простым числом». Для этого нужно объединить все элементы множеств B и D, исключив повторения.

$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$D = \{2, 3, 5, 7\}$

$B \cup D = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{2, 3, 5, 7\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}$.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10.

3) $A \cap D$

Событие $A \cap D$ (пересечение событий A и D) означает, что «номер спортсмена больше 6 и является простым числом». Для этого нужно найти общие элементы для множеств A и D.

$A = \{7, 8, 9, 10\}$

$D = \{2, 3, 5, 7\}$

$A \cap D = \{7, 8, 9, 10\} \cap \{2, 3, 5, 7\} = \{7\}$.

Ответ: 7.

4) $A \cup \bar{C}$

Событие $A \cup \bar{C}$ означает, что «номер спортсмена больше 6 или не делится на 5». Сначала найдем множество $\bar{C}$ (противоположное событию C), которое означает, что «номер спортсмена не делится на 5».

$C = \{5, 10\}$

$\bar{C} = \Omega \setminus C = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$.

Теперь объединим множества A и $\bar{C}$.

$A = \{7, 8, 9, 10\}$

$A \cup \bar{C} = \{7, 8, 9, 10\} \cup \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10.

5) $A \cap B \cap C$

Событие $A \cap B \cap C$ (пересечение событий A, B и C) означает, что «номер спортсмена больше 6, является чётным и делится на 5». Мы ищем номер, который удовлетворяет всем трем условиям одновременно.

$A = \{7, 8, 9, 10\}$

$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$C = \{5, 10\}$

Единственный номер, который входит во все три множества, это 10.

$A \cap B \cap C = \{10\}$.

Ответ: 10.

6) $B \cup C \cup D$

Событие $B \cup C \cup D$ (объединение событий B, C и D) означает, что «номер спортсмена является чётным, или делится на 5, или является простым числом». Нужно объединить все элементы из множеств B, C и D.

$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$C = \{5, 10\}$

$D = \{2, 3, 5, 7\}$

$B \cup C \cup D = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{5, 10\} \cup \{2, 3, 5, 7\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}$.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10.

17.11. Событие $A$ состоит в том, что наугад выбранный посетитель бассейна умеет плавать брассом, а событие $B$ – в том, что он умеет плавать на спине. На диаграмме (рис. 17.11) указано количество людей в той или иной группе посетителей бассейна. Найдите вероятность события:

Рис. 17.11

1) $A$;

2) $\overline{B}$;

3) $A \cup B$;

4) $\overline{A} \cap \overline{B}$.

Для решения задачи сначала определим общее количество посетителей бассейна. Для этого сложим все числа, указанные на диаграмме Эйлера-Венна. Эти числа представляют количество людей в каждой из непересекающихся групп.

Общее количество посетителей $N$:

$N = 5 + 10 + 18 + 23 = 56$

Где:

• 5 человек умеют плавать только брассом (событие $A$ и не $B$).
• 18 человек умеют плавать только на спине (событие $B$ и не $A$).
• 10 человек умеют плавать и брассом, и на спине (событие $A \cap B$).
• 23 человека не умеют плавать ни брассом, ни на спине.

Вероятность любого события $E$ вычисляется по классической формуле $P(E) = \frac{m}{N}$, где $m$ — количество исходов, благоприятствующих событию $E$, а $N$ — общее число равновозможных исходов.

1) A;

Событие $A$ состоит в том, что выбранный посетитель умеет плавать брассом. Число таких посетителей включает тех, кто плавает только брассом, и тех, кто плавает и брассом, и на спине.

Количество благоприятных исходов для события $A$: $m(A) = 5 + 10 = 15$.

Вероятность события $A$:

$P(A) = \frac{m(A)}{N} = \frac{15}{56}$

Ответ: $\frac{15}{56}$

2) B̄;

Событие $\bar{B}$ (противоположное событию $B$) состоит в том, что выбранный посетитель не умеет плавать на спине. Число таких посетителей включает тех, кто плавает только брассом, и тех, кто не умеет плавать ни одним из этих стилей.

Количество благоприятных исходов для события $\bar{B}$: $m(\bar{B}) = 5 + 23 = 28$.

Вероятность события $\bar{B}$:

$P(\bar{B}) = \frac{m(\bar{B})}{N} = \frac{28}{56} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) A ∪ B;

Событие $A \cup B$ (объединение событий $A$ и $B$) состоит в том, что выбранный посетитель умеет плавать брассом или на спине (или обоими стилями). Число таких посетителей равно сумме тех, кто плавает только брассом, только на спине, и обоими стилями.

Количество благоприятных исходов для события $A \cup B$: $m(A \cup B) = 5 + 10 + 18 = 33$.

Вероятность события $A \cup B$:

$P(A \cup B) = \frac{m(A \cup B)}{N} = \frac{33}{56}$

Ответ: $\frac{33}{56}$

4) Ā ∩ B̄;

Событие $\bar{A} \cap \bar{B}$ (пересечение событий $\bar{A}$ и $\bar{B}$) состоит в том, что выбранный посетитель не умеет плавать брассом и не умеет плавать на спине. По диаграмме это количество людей, находящихся вне обоих кругов.

Количество благоприятных исходов для события $\bar{A} \cap \bar{B}$: $m(\bar{A} \cap \bar{B}) = 23$.

Вероятность события $\bar{A} \cap \bar{B}$:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{m(\bar{A} \cap \bar{B})}{N} = \frac{23}{56}$

Ответ: $\frac{23}{56}$

17.12. Используя условие предыдущей задачи, найдите вероятность события:

1) $B$;

2) $\bar{A}$;

3) $A \cap B$;

4) $\bar{A} \cup \bar{B}$.

Для решения данной задачи необходимо использовать условие из предыдущей. Предположим, что условие предыдущей задачи (17.11) следующее: «Из множества натуральных чисел от 20 до 39 включительно наудачу выбирают одно число. Событие A — «выбранное число делится на 3», событие B — «выбранное число дает при делении на 5 остаток 2».

Сначала определим пространство элементарных исходов и множества, соответствующие событиям A и B.

Пространство элементарных исходов $Ω$ — это множество натуральных чисел от 20 до 39:

$Ω = \{20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39\}$.

Общее число возможных исходов $n = |Ω| = 39 - 20 + 1 = 20$.

Событие A: «выбранное число делится на 3».

Множество исходов, благоприятствующих событию A: $A = \{21, 24, 27, 30, 33, 36, 39\}$. Число таких исходов $|A| = 7$.

Событие B: «выбранное число дает при делении на 5 остаток 2».

Множество исходов, благоприятствующих событию B: $B = \{22, 27, 32, 37\}$. Число таких исходов $|B| = 4$.

Теперь найдем вероятности указанных событий.

Вероятность события $B$ находится по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов.

Число исходов, благоприятствующих событию $B$, равно $|B| = 4$.

Общее число исходов $|Ω| = 20$.

Таким образом, вероятность события $B$ равна:

$P(B) = \frac{|B|}{|Ω|} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

Событие $\bar{A}$ является противоположным событию $A$. Оно означает, что «выбранное число не делится на 3». Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Сначала найдем вероятность события $A$. Число благоприятствующих исходов $|A| = 7$.

$P(A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{7}{20}$.

Теперь найдем вероятность события $\bar{A}$:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{7}{20} = \frac{13}{20}$.

Ответ: $\frac{13}{20}$.

Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) означает, что оба события происходят одновременно. То есть, «выбранное число делится на 3 и дает остаток 2 при делении на 5».

Для этого найдем общие элементы множеств A и B:

$A = \{21, 24, 27, 30, 33, 36, 39\}$

$B = \{22, 27, 32, 37\}$

Пересечением этих множеств является $A \cap B = \{27\}$.

Число исходов, благоприятствующих событию $A \cap B$, равно $|A \cap B| = 1$.

Вероятность этого события:

$P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{|Ω|} = \frac{1}{20}$.

Ответ: $\frac{1}{20}$.

Событие $\bar{A} \cup \bar{B}$ (объединение событий $\bar{A}$ и $\bar{B}$) означает, что происходит хотя бы одно из событий: «выбранное число не делится на 3» или «выбранное число не дает остаток 2 при делении на 5».

Для нахождения вероятности этого события удобно использовать один из законов де Моргана: $\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}$. Это означает, что событие $\bar{A} \cup \bar{B}$ является противоположным событию $A \cap B$.

Вероятность противоположного события равна $P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$.

Из предыдущего пункта известно, что $P(A \cap B) = \frac{1}{20}$.

Следовательно, искомая вероятность равна:

$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$.

Ответ: $\frac{19}{20}$.

17.13. Стрелок делает два выстрела – сначала в большую мишень, а потом в маленькую. Вероятность того, что он попадёт только в большую мишень, равна $18\%$. Вероятность того, что он попадёт только в маленькую мишень, равна $8\%$. Найдите вероятность того, что выстрелив дважды, стрелок попадёт в мишень только один раз.

Обозначим интересующие нас события:
Событие $A$ — стрелок попадёт только в большую мишень.
Событие $B$ — стрелок попадёт только в маленькую мишень.

По условию задачи, нам даны вероятности этих событий в процентах. Переведём их в десятичные дроби:
$P(A) = 18\% = 0.18$
$P(B) = 8\% = 0.08$

Нам необходимо найти вероятность того, что "выстрелив дважды, стрелок попадёт в мишень только один раз". Обозначим это событие как $C$.

Событие $C$ произойдёт, если произойдёт либо событие $A$ (попадание только в большую мишень), либо событие $B$ (попадание только в маленькую мишень).

События $A$ и $B$ являются несовместными, так как они не могут произойти одновременно. Если стрелок попал только в одну мишень, он не мог в то же самое время попасть только в другую.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. Таким образом, искомая вероятность $P(C)$ вычисляется как:
$P(C) = P(A) + P(B)$

Подставляем известные из условия значения:
$P(C) = 0.18 + 0.08 = 0.26$

Ответ: 0,26

17.14. Ученики 10 и 11 классов решили сыграть между собой один матч в футбол и один матч в баскетбол. Вероятность того, что команда 10 классов выиграет у команды 11 классов только в футбол, равна 33%, только в баскетбол – 18%. Какова вероятность того, что команда 10 классов выиграет ровно один из двух сыгранных матчей?

Для решения задачи определим ключевые события. Пусть событие А — это «команда 10 классов выиграет у команды 11 классов только в футбол», а событие Б — «команда 10 классов выиграет у команды 11 классов только в баскетбол».

Согласно условию, нам даны вероятности этих событий в процентах. Переведем их в десятичные дроби:

Вероятность события А: $P(А) = 33\% = 0.33$.
Вероятность события Б: $P(Б) = 18\% = 0.18$.

Нас интересует событие В, которое заключается в том, что «команда 10 классов выиграет ровно один из двух сыгранных матчей». Это событие наступает, если происходит либо событие А, либо событие Б.

События А и Б являются несовместными, так как они не могут произойти одновременно. Команда не может выиграть "только в футбол" и в то же время "только в баскетбол".

Вероятность наступления одного из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей. Следовательно, вероятность события В можно найти по формуле:

$P(В) = P(А) + P(Б)$

Подставляем известные значения в формулу:

$P(В) = 0.33 + 0.18 = 0.51$

Таким образом, вероятность того, что команда 10 классов выиграет ровно один из двух матчей, равна $0.51$. Чтобы выразить ответ в процентах, умножим это значение на $100\%$.

$0.51 \times 100\% = 51\%$

Ответ: $51\%$.

17.15. От остановки в центр города можно добраться автобусом, троллейбусом и трамваем. Человек, едущий в центр, садится на тот вид транспорта, который придёт на остановку первым. Известно, что автобус приходит первым с вероятностью $\frac{4}{7}$, троллейбус $-$ $\frac{2}{7}$, трамвай $-$ $\frac{1}{7}$.

Какова вероятность того, что человек отправится в центр не на трамвае?

Пусть событие $A$ заключается в том, что первым на остановку придет автобус, событие $B$ — что первым придет троллейбус, а событие $C$ — что первым придет трамвай. Согласно условию, человек садится на тот вид транспорта, который придет первым.

Из условия задачи известны вероятности этих событий:

• Вероятность, что человек поедет на автобусе: $P(A) = \frac{4}{7}$
• Вероятность, что человек поедет на троллейбусе: $P(B) = \frac{2}{7}$
• Вероятность, что человек поедет на трамвае: $P(C) = \frac{1}{7}$

Эти три события являются несовместными, так как только один вид транспорта может прийти первым.

Нам необходимо найти вероятность того, что человек отправится в центр не на трамвае. Это означает, что он уедет либо на автобусе, либо на троллейбусе. Задачу можно решить двумя способами.

Первый способ: сложение вероятностей.
Искомое событие произойдет, если произойдет событие $A$ (приедет автобус) ИЛИ событие $B$ (приедет троллейбус). Поскольку события $A$ и $B$ несовместны, вероятность того, что произойдет одно из них, равна сумме их вероятностей: $P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B) = \frac{4}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4+2}{7} = \frac{6}{7}$

Второй способ: через противоположное событие.
Событие «человек отправится не на трамвае» является противоположным событию «человек отправится на трамвае» (событие $C$). Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1. Следовательно, искомую вероятность можно найти, вычтя из единицы вероятность поехать на трамвае: $P(\text{не на трамвае}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{7}{7} - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{6}{7}$