Номер 17.10, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 17. Операции над событиями. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 17.10, страница 149.

17.10. В результате жеребьёвки спортсмен на старте получает повязку с номером от 1 до 10. В этом испытании рассматривают такие события:

$A$ – «номер спортсмена больше 6»;

$B$ – «номер спортсмена чётный»;

$C$ – «номер спортсмена делится на 5»;

$D$ – «номер спортсмена является простым числом».

Какие номера может получить спортсмен, если произойдёт событие:

1) $\bar{A}$;

2) $B \cup D$;

3) $A \cap D$;

4) $A \cup \bar{C}$;

5) $A \cap B \cap C$;

6) $B \cup C \cup D$?

Для решения задачи сначала определим множества исходов для каждого из событий A, B, C и D. Пространство элементарных исходов (все возможные номера спортсменов) — это числа от 1 до 10, то есть $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

• Событие A: «номер спортсмена больше 6». Этому условию соответствуют номера 7, 8, 9, 10. Таким образом, $A = \{7, 8, 9, 10\}$.
• Событие B: «номер спортсмена чётный». Этому условию соответствуют номера 2, 4, 6, 8, 10. Таким образом, $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$.
• Событие C: «номер спортсмена делится на 5». Этому условию соответствуют номера 5, 10. Таким образом, $C = \{5, 10\}$.
• Событие D: «номер спортсмена является простым числом». Простые числа в диапазоне от 1 до 10 — это 2, 3, 5, 7 (число 1 не является простым). Таким образом, $D = \{2, 3, 5, 7\}$.

Теперь найдем, какие номера может получить спортсмен для каждого из указанных составных событий.

1) $\bar{A}$

Событие $\bar{A}$ (противоположное событию A) означает, что «номер спортсмена не больше 6», то есть «номер спортсмена меньше или равен 6». Это все номера из общего множества $\Omega$, которые не входят в множество A.

$\bar{A} = \Omega \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \setminus \{7, 8, 9, 10\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2) $B \cup D$

Событие $B \cup D$ (объединение событий B и D) означает, что «номер спортсмена чётный или является простым числом». Для этого нужно объединить все элементы множеств B и D, исключив повторения.

$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$D = \{2, 3, 5, 7\}$

$B \cup D = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{2, 3, 5, 7\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}$.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10.

3) $A \cap D$

Событие $A \cap D$ (пересечение событий A и D) означает, что «номер спортсмена больше 6 и является простым числом». Для этого нужно найти общие элементы для множеств A и D.

$A = \{7, 8, 9, 10\}$

$D = \{2, 3, 5, 7\}$

$A \cap D = \{7, 8, 9, 10\} \cap \{2, 3, 5, 7\} = \{7\}$.

Ответ: 7.

4) $A \cup \bar{C}$

Событие $A \cup \bar{C}$ означает, что «номер спортсмена больше 6 или не делится на 5». Сначала найдем множество $\bar{C}$ (противоположное событию C), которое означает, что «номер спортсмена не делится на 5».

$C = \{5, 10\}$

$\bar{C} = \Omega \setminus C = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$.

Теперь объединим множества A и $\bar{C}$.

$A = \{7, 8, 9, 10\}$

$A \cup \bar{C} = \{7, 8, 9, 10\} \cup \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10.

5) $A \cap B \cap C$

Событие $A \cap B \cap C$ (пересечение событий A, B и C) означает, что «номер спортсмена больше 6, является чётным и делится на 5». Мы ищем номер, который удовлетворяет всем трем условиям одновременно.

$A = \{7, 8, 9, 10\}$

$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$C = \{5, 10\}$

Единственный номер, который входит во все три множества, это 10.

$A \cap B \cap C = \{10\}$.

Ответ: 10.

6) $B \cup C \cup D$

Событие $B \cup C \cup D$ (объединение событий B, C и D) означает, что «номер спортсмена является чётным, или делится на 5, или является простым числом». Нужно объединить все элементы из множеств B, C и D.

$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$C = \{5, 10\}$

$D = \{2, 3, 5, 7\}$

$B \cup C \cup D = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{5, 10\} \cup \{2, 3, 5, 7\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}$.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10.