Номер 17.7, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 17. Операции над событиями. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 17.7, страница 148.

17.7. Опыт состоит в том, что из множества $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ наугад выбирают один элемент. В этом опыте рассматривают следующие события:

$A$ – выбранный элемент принадлежит множеству $\{1, 2\};$

$B$ – выбранный элемент принадлежит множеству $\{1, 3, 5\};$

$C$ – выбранный элемент принадлежит множеству $\{4, 5\}.$

Какой элемент мог быть выбран, если произошло событие:

1) $A \cap B;$

2) $B \cup C;$

3) $\overline{B};$

4) $\overline{A} \cap C;$

5) $A \cup B \cup C?$

Для решения задачи воспользуемся определениями операций над множествами. Универсальное множество, из которого выбирают элемент, — это $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Событиям A, B и C соответствуют следующие множества:

• $A = \{1, 2\}$
• $B = \{1, 3, 5\}$
• $C = \{4, 5\}$

Мы должны найти, какому множеству элементов соответствует каждое из заданных событий.

1) $A \cap B$

Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) означает, что выбранный элемент принадлежит и множеству A, и множеству B. Чтобы найти такой элемент, нужно найти пересечение множеств $A$ и $B$.

$A \cap B = \{1, 2\} \cap \{1, 3, 5\} = \{1\}$.

Единственный общий элемент — это 1. Значит, если произошло событие $A \cap B$, был выбран элемент 1.

Ответ: 1.

2) $B \cup C$

Событие $B \cup C$ (объединение событий B и C) означает, что выбранный элемент принадлежит множеству B или множеству C (или обоим сразу). Для этого нужно найти объединение множеств $B$ и $C$.

$B \cup C = \{1, 3, 5\} \cup \{4, 5\} = \{1, 3, 4, 5\}$.

Значит, если произошло событие $B \cup C$, мог быть выбран любой из элементов: 1, 3, 4 или 5.

Ответ: 1, 3, 4 или 5.

3) $\bar{B}$

Событие $\bar{B}$ (дополнение B) означает, что событие B не произошло. То есть, был выбран элемент из универсального множества $U$, который не принадлежит множеству $B$. Это соответствует операции разности множеств $U \setminus B$.

$\bar{B} = U \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{1, 3, 5\} = \{2, 4\}$.

Значит, если произошло событие $\bar{B}$, мог быть выбран элемент 2 или 4.

Ответ: 2 или 4.

4) $\bar{A} \cap C$

Событие $\bar{A} \cap C$ означает, что событие A не произошло, и при этом произошло событие C. Сначала найдем множество $\bar{A}$, то есть элементы из $U$, не входящие в $A$.

$\bar{A} = U \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{1, 2\} = \{3, 4, 5\}$.

Теперь найдем пересечение полученного множества $\bar{A}$ с множеством $C$.

$\bar{A} \cap C = \{3, 4, 5\} \cap \{4, 5\} = \{4, 5\}$.

Значит, если произошло событие $\bar{A} \cap C$, мог быть выбран элемент 4 или 5.

Ответ: 4 или 5.

5) $A \cup B \cup C$

Событие $A \cup B \cup C$ (объединение событий A, B и C) означает, что произошло хотя бы одно из этих событий. То есть, выбранный элемент принадлежит хотя бы одному из множеств $A$, $B$ или $C$. Найдем объединение всех трех множеств.

$A \cup B \cup C = \{1, 2\} \cup \{1, 3, 5\} \cup \{4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Полученное множество совпадает с универсальным множеством $U$. Это означает, что при любом выборе элемента из $U$ это событие произойдет.

Ответ: 1, 2, 3, 4 или 5.