Номер 17.12, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 17. Операции над событиями. Упражнения - номер 17.12, страница 149.

Учебник.

17.12. Используя условие предыдущей задачи, найдите вероятность события:

1) $B$;

2) $\bar{A}$;

3) $A \cap B$;

4) $\bar{A} \cup \bar{B}$.

Решение.

Решение 2.

Для решения данной задачи необходимо использовать условие из предыдущей. Предположим, что условие предыдущей задачи (17.11) следующее: «Из множества натуральных чисел от 20 до 39 включительно наудачу выбирают одно число. Событие A — «выбранное число делится на 3», событие B — «выбранное число дает при делении на 5 остаток 2».

Сначала определим пространство элементарных исходов и множества, соответствующие событиям A и B.

Пространство элементарных исходов $Ω$ — это множество натуральных чисел от 20 до 39:

$Ω = \{20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39\}$.

Общее число возможных исходов $n = |Ω| = 39 - 20 + 1 = 20$.

Событие A: «выбранное число делится на 3».

Множество исходов, благоприятствующих событию A: $A = \{21, 24, 27, 30, 33, 36, 39\}$. Число таких исходов $|A| = 7$.

Событие B: «выбранное число дает при делении на 5 остаток 2».

Множество исходов, благоприятствующих событию B: $B = \{22, 27, 32, 37\}$. Число таких исходов $|B| = 4$.

Теперь найдем вероятности указанных событий.

1) $B$;

Вероятность события $B$ находится по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов.

Число исходов, благоприятствующих событию $B$, равно $|B| = 4$.

Общее число исходов $|Ω| = 20$.

Таким образом, вероятность события $B$ равна:

$P(B) = \frac{|B|}{|Ω|} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

2) $\bar{A}$;

Событие $\bar{A}$ является противоположным событию $A$. Оно означает, что «выбранное число не делится на 3». Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Сначала найдем вероятность события $A$. Число благоприятствующих исходов $|A| = 7$.

$P(A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{7}{20}$.

Теперь найдем вероятность события $\bar{A}$:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{7}{20} = \frac{13}{20}$.

Ответ: $\frac{13}{20}$.

3) $A \cap B$;

Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) означает, что оба события происходят одновременно. То есть, «выбранное число делится на 3 и дает остаток 2 при делении на 5».

Для этого найдем общие элементы множеств A и B:

$A = \{21, 24, 27, 30, 33, 36, 39\}$

$B = \{22, 27, 32, 37\}$

Пересечением этих множеств является $A \cap B = \{27\}$.

Число исходов, благоприятствующих событию $A \cap B$, равно $|A \cap B| = 1$.

Вероятность этого события:

$P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{|Ω|} = \frac{1}{20}$.

Ответ: $\frac{1}{20}$.

4) $\bar{A} \cup \bar{B}$;

Событие $\bar{A} \cup \bar{B}$ (объединение событий $\bar{A}$ и $\bar{B}$) означает, что происходит хотя бы одно из событий: «выбранное число не делится на 3» или «выбранное число не дает остаток 2 при делении на 5».

Для нахождения вероятности этого события удобно использовать один из законов де Моргана: $\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}$. Это означает, что событие $\bar{A} \cup \bar{B}$ является противоположным событию $A \cap B$.

Вероятность противоположного события равна $P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$.

Из предыдущего пункта известно, что $P(A \cap B) = \frac{1}{20}$.

Следовательно, искомая вероятность равна:

$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$.

Ответ: $\frac{19}{20}$.