Номер 17.18, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 17. Операции над событиями. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 17.18, страница 150.

17.18. Правильную треугольную пирамиду, грани которой окрашены в жёлтый, зелёный, красный и синий цвета, подбросили дважды. Пусть событие $A$ состоит в том, что оба раза пирамида упала на одну и ту же грань, а событие $B$ – в том, что в первый раз пирамида упала на жёлтую или на зелёную грань. Найдите вероятность события:

1) $\overline{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

Поскольку правильная треугольная пирамида (тетраэдр) имеет 4 грани, и она является правильной, то при броске каждая грань имеет равные шансы оказаться в основании. Цвета граней: жёлтый (Ж), зелёный (З), красный (К) и синий (С). Эксперимент состоит из двух бросков пирамиды. Так как броски независимы, общее число равновозможных исходов равно произведению числа исходов для каждого броска: $N = 4 \times 4 = 16$. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару цветов, например, (Ж, К) означает, что в первый раз выпала жёлтая грань, а во второй — красная.

Событие A состоит в том, что оба раза пирамида упала на одну и ту же грань. Этому событию соответствуют следующие исходы: (Ж, Ж), (З, З), (К, К), (С, С). Число благоприятствующих событию A исходов: $n(A) = 4$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{n(A)}{N} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

Событие B состоит в том, что в первый раз пирамида упала на жёлтую или на зелёную грань. Первый исход может быть Ж или З (2 варианта), второй — любой из четырёх цветов (4 варианта). Число благоприятствующих событию B исходов: $n(B) = 2 \times 4 = 8$. Исходы для события B: (Ж, Ж), (Ж, З), (Ж, К), (Ж, С), (З, Ж), (З, З), (З, К), (З, С). Вероятность события B: $P(B) = \frac{n(B)}{N} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем вероятности указанных событий.

1) $\overline{A}$;
Событие $\overline{A}$ является противоположным событию A. Оно означает, что пирамида оба раза упала на разные грани. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. Подставим найденное значение $P(A)$: $P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

2) $A \cap B$;
Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) означает, что происходят оба события одновременно: "оба раза выпала одна и та же грань" И "в первый раз выпала жёлтая или зелёная грань". Этому условию удовлетворяют только два исхода: (Ж, Ж) и (З, З). Число благоприятствующих событию $A \cap B$ исходов: $n(A \cap B) = 2$. Вероятность этого события: $P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{N} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

3) $A \cup B$.
Событие $A \cup B$ (объединение событий A и B) означает, что происходит хотя бы одно из событий: "выпала одна и та же грань" ИЛИ "в первый раз выпала жёлтая или зелёная грань". Вероятность объединения двух событий вычисляется по формуле: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Мы уже вычислили все необходимые вероятности: $P(A) = \frac{1}{4}$, $P(B) = \frac{1}{2}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{8}$. Подставим эти значения в формулу: $P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{6-1}{8} = \frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{5}{8}$