Номер 17.16, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 17. Операции над событиями. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 17.16, страница 150.

17.16. В столовой предлагается три первых блюда — солянка, борщ и уха. Среди покупающих первое блюдо солянку выбирает каждый второй, борщ — каждый третий, а уху — каждый шестой человек. Какова вероятность того, что очередной посетитель, купивший первое блюдо, не выберет борщ?

Для решения задачи определим вероятности выбора каждого из блюд. Пусть событие $A$ – посетитель выбирает солянку, событие $B$ – посетитель выбирает борщ, и событие $C$ – посетитель выбирает уху.

Согласно условию, солянку выбирает каждый второй, следовательно, вероятность выбора солянки:
$P(A) = \frac{1}{2}$

Борщ выбирает каждый третий, значит, вероятность выбора борща:
$P(B) = \frac{1}{3}$

Уху выбирает каждый шестой, значит, вероятность выбора ухи:
$P(C) = \frac{1}{6}$

События выбора солянки, борща и ухи являются несовместными и образуют полную группу, так как посетитель, покупающий первое блюдо, обязательно выберет одно из них. Проверим это, сложив их вероятности:
$P(A) + P(B) + P(C) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Нам нужно найти вероятность того, что очередной посетитель, купивший первое блюдо, не выберет борщ. Это событие, противоположное событию $B$ (выбор борща). Обозначим его как $\bar{B}$.

Вероятность противоположного события можно найти по формуле:
$P(\bar{B}) = 1 - P(B)$

Подставим известное значение вероятности выбора борща:
$P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Другой способ решения — это найти вероятность того, что посетитель выберет либо солянку, либо уху. Так как эти события несовместны (посетитель не может выбрать оба блюда одновременно), их вероятности можно сложить:
$P(\text{не борщ}) = P(A) + P(C) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{2}{3}$