Номер 17.11, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 17. Операции над событиями. Упражнения - номер 17.11, страница 149.

Учебник.

17.11. Событие $A$ состоит в том, что наугад выбранный посетитель бассейна умеет плавать брассом, а событие $B$ – в том, что он умеет плавать на спине. На диаграмме (рис. 17.11) указано количество людей в той или иной группе посетителей бассейна. Найдите вероятность события:

Рис. 17.11

1) $A$;

2) $\overline{B}$;

3) $A \cup B$;

4) $\overline{A} \cap \overline{B}$.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала определим общее количество посетителей бассейна. Для этого сложим все числа, указанные на диаграмме Эйлера-Венна. Эти числа представляют количество людей в каждой из непересекающихся групп.

Общее количество посетителей $N$:

$N = 5 + 10 + 18 + 23 = 56$

Где:

• 5 человек умеют плавать только брассом (событие $A$ и не $B$).
• 18 человек умеют плавать только на спине (событие $B$ и не $A$).
• 10 человек умеют плавать и брассом, и на спине (событие $A \cap B$).
• 23 человека не умеют плавать ни брассом, ни на спине.

Вероятность любого события $E$ вычисляется по классической формуле $P(E) = \frac{m}{N}$, где $m$ — количество исходов, благоприятствующих событию $E$, а $N$ — общее число равновозможных исходов.

1) A;

Событие $A$ состоит в том, что выбранный посетитель умеет плавать брассом. Число таких посетителей включает тех, кто плавает только брассом, и тех, кто плавает и брассом, и на спине.

Количество благоприятных исходов для события $A$: $m(A) = 5 + 10 = 15$.

Вероятность события $A$:

$P(A) = \frac{m(A)}{N} = \frac{15}{56}$

Ответ: $\frac{15}{56}$

2) B̄;

Событие $\bar{B}$ (противоположное событию $B$) состоит в том, что выбранный посетитель не умеет плавать на спине. Число таких посетителей включает тех, кто плавает только брассом, и тех, кто не умеет плавать ни одним из этих стилей.

Количество благоприятных исходов для события $\bar{B}$: $m(\bar{B}) = 5 + 23 = 28$.

Вероятность события $\bar{B}$:

$P(\bar{B}) = \frac{m(\bar{B})}{N} = \frac{28}{56} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) A ∪ B;

Событие $A \cup B$ (объединение событий $A$ и $B$) состоит в том, что выбранный посетитель умеет плавать брассом или на спине (или обоими стилями). Число таких посетителей равно сумме тех, кто плавает только брассом, только на спине, и обоими стилями.

Количество благоприятных исходов для события $A \cup B$: $m(A \cup B) = 5 + 10 + 18 = 33$.

Вероятность события $A \cup B$:

$P(A \cup B) = \frac{m(A \cup B)}{N} = \frac{33}{56}$

Ответ: $\frac{33}{56}$

4) Ā ∩ B̄;

Событие $\bar{A} \cap \bar{B}$ (пересечение событий $\bar{A}$ и $\bar{B}$) состоит в том, что выбранный посетитель не умеет плавать брассом и не умеет плавать на спине. По диаграмме это количество людей, находящихся вне обоих кругов.

Количество благоприятных исходов для события $\bar{A} \cap \bar{B}$: $m(\bar{A} \cap \bar{B}) = 23$.

Вероятность события $\bar{A} \cap \bar{B}$:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{m(\bar{A} \cap \bar{B})}{N} = \frac{23}{56}$

Ответ: $\frac{23}{56}$