Номер 17.9, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 17. Операции над событиями. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 17.9, страница 148.

17.9. Перед футбольным матчем «Локомотив» – «Зенит» болельщики обсуждают такие события:

A – «команда „Зенит“ не проиграет»;

B – «матч закончится вничью со счётом 1:1»;

C – «команда „Локомотив“ победит со счётом 3:0»;

D – «в матче забьют не более двух голов».

Какой счёт может быть на табло после окончания матча, если произойдёт событие:

1) $A \cap B$;

2) $B \cup C$;

3) $A \cap D$;

4) $\overline{A \cup C}$;

5) $\overline{C} \cup \overline{D}$?

Для решения задачи сначала формализуем условия. Пусть счёт матча «Локомотив» — «Зенит» будет $L:Z$, где $L$ — количество голов, забитых «Локомотивом», а $Z$ — количество голов, забитых «Зенитом».

Тогда события можно описать следующими условиями:

• Событие A: «Зенит» не проиграет. Это означает, что «Зенит» выиграет или сыграет вничью. Математически это выражается как $Z \ge L$.
• Событие B: матч закончится вничью со счётом 1:1. Это означает, что счёт матча $L:Z$ равен 1:1.
• Событие C: «Локомотив» победит со счётом 3:0. Это означает, что счёт матча $L:Z$ равен 3:0.
• Событие D: в матче забьют не более двух голов. Это означает, что общее число голов $L+Z \le 2$.

Теперь рассмотрим каждое из составных событий.

1) $A \cap B$

Это событие означает, что должны произойти оба события A и B одновременно. Событие A: $Z \ge L$. Событие B: счёт 1:1. Проверим, удовлетворяет ли счёт 1:1 условию события A. При счёте 1:1, $L=1$ и $Z=1$. Условие $Z \ge L$ выполняется, так как $1 \ge 1$. Следовательно, событие $A \cap B$ означает, что матч закончился со счётом 1:1, так как это единственный исход, удовлетворяющий обоим условиям.
Ответ: 1:1.

2) $B \cup C$

Это событие означает, что должно произойти хотя бы одно из событий B или C. Событие B: счёт 1:1. Событие C: счёт 3:0. События B и C несовместны, так как матч не может одновременно закончиться с двумя разными счетами. Таким образом, событие $B \cup C$ означает, что счёт на табло будет либо 1:1, либо 3:0.
Ответ: 1:1 или 3:0.

3) $A \cap D$

Это событие означает, что должны произойти оба события A и D одновременно. Событие A: «Зенит» не проиграет ($Z \ge L$). Событие D: в матче забито не более двух голов ($L+Z \le 2$). Нам нужно найти все возможные счета $L:Z$, которые удовлетворяют обоим неравенствам. Перечислим все счета, удовлетворяющие условию $L+Z \le 2$:

• 0:0 (сумма голов 0). Проверяем условие $Z \ge L$: $0 \ge 0$. Подходит.
• 1:0 (сумма голов 1). Проверяем условие $Z \ge L$: $0 \ge 1$. Не подходит.
• 0:1 (сумма голов 1). Проверяем условие $Z \ge L$: $1 \ge 0$. Подходит.
• 1:1 (сумма голов 2). Проверяем условие $Z \ge L$: $1 \ge 1$. Подходит.
• 2:0 (сумма голов 2). Проверяем условие $Z \ge L$: $0 \ge 2$. Не подходит.
• 0:2 (сумма голов 2). Проверяем условие $Z \ge L$: $2 \ge 0$. Подходит.

Таким образом, возможны следующие счета: 0:0, 0:1, 1:1, 0:2.
Ответ: 0:0, 0:1, 1:1, 0:2.

4) $\overline{A \cup C}$

Это событие является дополнением к объединению событий A и C. Оно означает, что не произошло ни событие A, ни событие C. По законам де Моргана, $\overline{A \cup C} = \bar{A} \cap \bar{C}$. $\bar{A}$ — событие, противоположное A. Если A — «Зенит» не проиграет ($Z \ge L$), то $\bar{A}$ — «Зенит» проиграет ($Z < L$, или $L > Z$). То есть, «Локомотив» выиграет. $\bar{C}$ — событие, противоположное C. Если C — счёт 3:0, то $\bar{C}$ — счёт не 3:0. Событие $\bar{A} \cap \bar{C}$ означает, что «Локомотив» выиграл, но не со счётом 3:0. Это может быть любой победный для «Локомотива» счёт, кроме 3:0. Например: 1:0, 2:0, 2:1, 4:0, 4:1, 4:2 и т.д.
Ответ: любой счёт, при котором побеждает «Локомотив», за исключением счёта 3:0 (например, 1:0, 2:1).

5) $\bar{C} \cup \bar{D}$

Это событие означает, что должно произойти хотя бы одно из событий $\bar{C}$ или $\bar{D}$. Событие $\bar{C}$: счёт не 3:0. Событие $\bar{D}$ — событие, противоположное D. Если D — в матче забито не более двух голов ($L+Z \le 2$), то $\bar{D}$ — в матче забито более двух голов ($L+Z > 2$). Событие $\bar{C} \cup \bar{D}$ означает, что счёт матча не 3:0, ИЛИ в матче забито более двух голов. Проверим, может ли какой-либо счёт не удовлетворять этому условию. Чтобы условие не выполнилось, должны быть ложными обе его части: счёт равен 3:0, и одновременно в матче забито не более двух голов. Эти два утверждения противоречат друг другу, так как при счёте 3:0 забито 3 гола, что больше двух. Следовательно, для любого возможного счёта матча хотя бы одно из условий ($\bar{C}$ или $\bar{D}$) будет истинным. Также можно было воспользоваться свойством $\bar{C} \cup \bar{D} = \overline{C \cap D}$. Событие $C \cap D$ означает, что счёт 3:0 и при этом забито не более 2 голов. Это невозможное событие ($C \cap D = \emptyset$). Дополнение к невозможному событию есть достоверное событие, то есть оно произойдет при любом исходе матча.
Ответ: любой возможный счёт.