Страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.6. На диаграмме (рис. 17.10) проиллюстрированы события $A$ и $B$. Перерисуйте диаграмму в тетрадь и заштрихуйте ту область, которая иллюстрирует следующее:

1) произошло событие $A$, но не произошло событие $B$;

2) произошло событие $B$, но не произошло событие $A$;

3) не произошло ни событие $A$, ни событие $B$.

Рис. 17.10

Данная задача решается с помощью диаграмм Венна, которые используются для наглядного представления отношений между множествами. Прямоугольник изображает универсальное множество (пространство всех элементарных исходов), а круги внутри него — события (подмножества).

1) произошло событие A, но не произошло событие B

Это событие означает, что наступил исход, благоприятный для события $A$, но не благоприятный для события $B$. В терминах теории множеств это соответствует разности множеств $A$ и $B$, которая обозначается как $A \setminus B$. На диаграмме Венна нужно заштриховать ту часть круга $A$, которая не пересекается с кругом $B$.

Ответ: Заштрихована область, принадлежащая кругу $A$, за исключением области его пересечения с кругом $B$.

2) произошло событие B, но не произошло событие A

Это событие означает, что наступил исход, благоприятный для события $B$, но не благоприятный для события $A$. В теории множеств это соответствует разности множеств $B$ и $A$, которая обозначается как $B \setminus A$. На диаграмме Венна нужно заштриховать ту часть круга $B$, которая не пересекается с кругом $A$.

Ответ: Заштрихована область, принадлежащая кругу $B$, за исключением области его пересечения с кругом $A$.

3) не произошло ни событие A, ни событие B

Это событие означает, что наступил исход, не благоприятный ни для события $A$, ни для события $B$. В теории множеств это соответствует дополнению к объединению множеств $A$ и $B$, что обозначается как $\overline{A \cup B}$ или $(A \cup B)'$. На диаграмме Венна нужно заштриховать область внутри прямоугольника, но снаружи обоих кругов.

Ответ: Заштрихована область внутри прямоугольника, которая находится вне кругов $A$ и $B$.

17.7. Опыт состоит в том, что из множества $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ наугад выбирают один элемент. В этом опыте рассматривают следующие события:

$A$ – выбранный элемент принадлежит множеству $\{1, 2\};$

$B$ – выбранный элемент принадлежит множеству $\{1, 3, 5\};$

$C$ – выбранный элемент принадлежит множеству $\{4, 5\}.$

Какой элемент мог быть выбран, если произошло событие:

1) $A \cap B;$

2) $B \cup C;$

3) $\overline{B};$

4) $\overline{A} \cap C;$

5) $A \cup B \cup C?$

Для решения задачи воспользуемся определениями операций над множествами. Универсальное множество, из которого выбирают элемент, — это $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Событиям A, B и C соответствуют следующие множества:

• $A = \{1, 2\}$
• $B = \{1, 3, 5\}$
• $C = \{4, 5\}$

Мы должны найти, какому множеству элементов соответствует каждое из заданных событий.

1) $A \cap B$

Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) означает, что выбранный элемент принадлежит и множеству A, и множеству B. Чтобы найти такой элемент, нужно найти пересечение множеств $A$ и $B$.

$A \cap B = \{1, 2\} \cap \{1, 3, 5\} = \{1\}$.

Единственный общий элемент — это 1. Значит, если произошло событие $A \cap B$, был выбран элемент 1.

Ответ: 1.

2) $B \cup C$

Событие $B \cup C$ (объединение событий B и C) означает, что выбранный элемент принадлежит множеству B или множеству C (или обоим сразу). Для этого нужно найти объединение множеств $B$ и $C$.

$B \cup C = \{1, 3, 5\} \cup \{4, 5\} = \{1, 3, 4, 5\}$.

Значит, если произошло событие $B \cup C$, мог быть выбран любой из элементов: 1, 3, 4 или 5.

Ответ: 1, 3, 4 или 5.

3) $\bar{B}$

Событие $\bar{B}$ (дополнение B) означает, что событие B не произошло. То есть, был выбран элемент из универсального множества $U$, который не принадлежит множеству $B$. Это соответствует операции разности множеств $U \setminus B$.

$\bar{B} = U \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{1, 3, 5\} = \{2, 4\}$.

Значит, если произошло событие $\bar{B}$, мог быть выбран элемент 2 или 4.

Ответ: 2 или 4.

4) $\bar{A} \cap C$

Событие $\bar{A} \cap C$ означает, что событие A не произошло, и при этом произошло событие C. Сначала найдем множество $\bar{A}$, то есть элементы из $U$, не входящие в $A$.

$\bar{A} = U \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{1, 2\} = \{3, 4, 5\}$.

Теперь найдем пересечение полученного множества $\bar{A}$ с множеством $C$.

$\bar{A} \cap C = \{3, 4, 5\} \cap \{4, 5\} = \{4, 5\}$.

Значит, если произошло событие $\bar{A} \cap C$, мог быть выбран элемент 4 или 5.

Ответ: 4 или 5.

5) $A \cup B \cup C$

Событие $A \cup B \cup C$ (объединение событий A, B и C) означает, что произошло хотя бы одно из этих событий. То есть, выбранный элемент принадлежит хотя бы одному из множеств $A$, $B$ или $C$. Найдем объединение всех трех множеств.

$A \cup B \cup C = \{1, 2\} \cup \{1, 3, 5\} \cup \{4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Полученное множество совпадает с универсальным множеством $U$. Это означает, что при любом выборе элемента из $U$ это событие произойдет.

Ответ: 1, 2, 3, 4 или 5.

17.8. Опыт состоит в том, что наугад выбирают действительное число.

В этом опыте рассматривают следующие события:

$A$ – выбранное число принадлежит промежутку $[0; 2];$

$B$ – выбранное число принадлежит промежутку $(0; +\infty);$

$C$ – выбранное число принадлежит промежутку $[1; 3).$

С помощью числовых промежутков запишите множество тех чисел, которые могли быть выбраны, если произошло событие:

1) $A \cup B;$

2) $A \cap C;$

3) $\overline{B};$

4) $A \cap \overline{C};$

5) $A \cap B \cap C.$

Для решения задачи представим события A, B и C в виде числовых промежутков, где $x$ — выбранное действительное число:

Событие A: $x \in [0; 2]$

Событие B: $x \in (0; +\infty)$

Событие C: $x \in [1; 3)$

Универсальным множеством, то есть множеством всех возможных исходов, является множество всех действительных чисел $\mathbb{R} = (-\infty; +\infty)$.

1) $A \cup B$

Объединение событий $A \cup B$ означает, что произошло хотя бы одно из событий: A или B. Это соответствует объединению числовых промежутков. Мы ищем множество чисел, которые принадлежат промежутку $[0; 2]$ или промежутку $(0; +\infty)$.

Объединяя эти два множества, мы получаем все числа, начиная от 0 (включительно, из множества A) и до плюс бесконечности (из множества B).

$A \cup B = [0; 2] \cup (0; +\infty) = [0; +\infty)$.

Ответ: $[0; +\infty)$.

2) $A \cap C$

Пересечение событий $A \cap C$ означает, что произошли оба события: и A, и C. Это соответствует пересечению (нахождению общей части) числовых промежутков $[0; 2]$ и $[1; 3)$.

Общей частью для этих промежутков будут все числа, которые больше или равны 1 и одновременно меньше или равны 2.

$A \cap C = [0; 2] \cap [1; 3) = [1; 2]$.

Ответ: $[1; 2]$.

3) $\bar{B}$

Событие $\bar{B}$ является дополнением (противоположным событием) к событию B. Оно означает, что событие B не произошло. Мы ищем множество всех действительных чисел, которые не принадлежат промежутку $B = (0; +\infty)$.

Если число не больше нуля, то оно ему меньше или равно. Следовательно, дополнением к множеству всех положительных чисел является множество всех неположительных чисел.

$\bar{B} = \mathbb{R} \setminus (0; +\infty) = (-\infty; 0]$.

Ответ: $(-\infty; 0]$.

4) $A \cap \bar{C}$

Это событие означает, что произошло событие A, но не произошло событие C. Сначала найдем дополнение к C, то есть $\bar{C}$.

$C = [1; 3)$, значит, $\bar{C}$ — это все числа, которые либо меньше 1, либо больше или равны 3.

$\bar{C} = (-\infty; 1) \cup [3; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение множества $A = [0; 2]$ с множеством $\bar{C}$.

$A \cap \bar{C} = [0; 2] \cap \left((-\infty; 1) \cup [3; +\infty)\right)$.

Пересечение с промежутком $[3; +\infty)$ пустое. Остается найти пересечение $[0; 2]$ и $(-\infty; 1)$. Общей частью является промежуток от 0 (включительно) до 1 (не включительно).

Это также можно рассматривать как разность множеств $A \setminus C = [0; 2] \setminus [1; 3) = [0; 1)$.

Ответ: $[0; 1)$.

5) $A \cap B \cap C$

Это событие означает, что произошли все три события одновременно. Мы ищем общую часть трех промежутков: $A = [0; 2]$, $B = (0; +\infty)$ и $C = [1; 3)$.

Сначала найдем пересечение $A \cap B$:

$A \cap B = [0; 2] \cap (0; +\infty) = (0; 2]$.

Теперь пересечем полученный результат с множеством C:

$(A \cap B) \cap C = (0; 2] \cap [1; 3)$.

Общей частью этих двух промежутков являются все числа, которые больше или равны 1 и меньше или равны 2.

$A \cap B \cap C = [1; 2]$.

Ответ: $[1; 2]$.

17.9. Перед футбольным матчем «Локомотив» – «Зенит» болельщики обсуждают такие события:

A – «команда „Зенит“ не проиграет»;

B – «матч закончится вничью со счётом 1:1»;

C – «команда „Локомотив“ победит со счётом 3:0»;

D – «в матче забьют не более двух голов».

Какой счёт может быть на табло после окончания матча, если произойдёт событие:

1) $A \cap B$;

2) $B \cup C$;

3) $A \cap D$;

4) $\overline{A \cup C}$;

5) $\overline{C} \cup \overline{D}$?

Для решения задачи сначала формализуем условия. Пусть счёт матча «Локомотив» — «Зенит» будет $L:Z$, где $L$ — количество голов, забитых «Локомотивом», а $Z$ — количество голов, забитых «Зенитом».

Тогда события можно описать следующими условиями:

• Событие A: «Зенит» не проиграет. Это означает, что «Зенит» выиграет или сыграет вничью. Математически это выражается как $Z \ge L$.
• Событие B: матч закончится вничью со счётом 1:1. Это означает, что счёт матча $L:Z$ равен 1:1.
• Событие C: «Локомотив» победит со счётом 3:0. Это означает, что счёт матча $L:Z$ равен 3:0.
• Событие D: в матче забьют не более двух голов. Это означает, что общее число голов $L+Z \le 2$.

Теперь рассмотрим каждое из составных событий.

1) $A \cap B$

Это событие означает, что должны произойти оба события A и B одновременно. Событие A: $Z \ge L$. Событие B: счёт 1:1. Проверим, удовлетворяет ли счёт 1:1 условию события A. При счёте 1:1, $L=1$ и $Z=1$. Условие $Z \ge L$ выполняется, так как $1 \ge 1$. Следовательно, событие $A \cap B$ означает, что матч закончился со счётом 1:1, так как это единственный исход, удовлетворяющий обоим условиям.
Ответ: 1:1.

2) $B \cup C$

Это событие означает, что должно произойти хотя бы одно из событий B или C. Событие B: счёт 1:1. Событие C: счёт 3:0. События B и C несовместны, так как матч не может одновременно закончиться с двумя разными счетами. Таким образом, событие $B \cup C$ означает, что счёт на табло будет либо 1:1, либо 3:0.
Ответ: 1:1 или 3:0.

3) $A \cap D$

Это событие означает, что должны произойти оба события A и D одновременно. Событие A: «Зенит» не проиграет ($Z \ge L$). Событие D: в матче забито не более двух голов ($L+Z \le 2$). Нам нужно найти все возможные счета $L:Z$, которые удовлетворяют обоим неравенствам. Перечислим все счета, удовлетворяющие условию $L+Z \le 2$:

• 0:0 (сумма голов 0). Проверяем условие $Z \ge L$: $0 \ge 0$. Подходит.
• 1:0 (сумма голов 1). Проверяем условие $Z \ge L$: $0 \ge 1$. Не подходит.
• 0:1 (сумма голов 1). Проверяем условие $Z \ge L$: $1 \ge 0$. Подходит.
• 1:1 (сумма голов 2). Проверяем условие $Z \ge L$: $1 \ge 1$. Подходит.
• 2:0 (сумма голов 2). Проверяем условие $Z \ge L$: $0 \ge 2$. Не подходит.
• 0:2 (сумма голов 2). Проверяем условие $Z \ge L$: $2 \ge 0$. Подходит.

Таким образом, возможны следующие счета: 0:0, 0:1, 1:1, 0:2.
Ответ: 0:0, 0:1, 1:1, 0:2.

4) $\overline{A \cup C}$

Это событие является дополнением к объединению событий A и C. Оно означает, что не произошло ни событие A, ни событие C. По законам де Моргана, $\overline{A \cup C} = \bar{A} \cap \bar{C}$. $\bar{A}$ — событие, противоположное A. Если A — «Зенит» не проиграет ($Z \ge L$), то $\bar{A}$ — «Зенит» проиграет ($Z < L$, или $L > Z$). То есть, «Локомотив» выиграет. $\bar{C}$ — событие, противоположное C. Если C — счёт 3:0, то $\bar{C}$ — счёт не 3:0. Событие $\bar{A} \cap \bar{C}$ означает, что «Локомотив» выиграл, но не со счётом 3:0. Это может быть любой победный для «Локомотива» счёт, кроме 3:0. Например: 1:0, 2:0, 2:1, 4:0, 4:1, 4:2 и т.д.
Ответ: любой счёт, при котором побеждает «Локомотив», за исключением счёта 3:0 (например, 1:0, 2:1).

5) $\bar{C} \cup \bar{D}$

Это событие означает, что должно произойти хотя бы одно из событий $\bar{C}$ или $\bar{D}$. Событие $\bar{C}$: счёт не 3:0. Событие $\bar{D}$ — событие, противоположное D. Если D — в матче забито не более двух голов ($L+Z \le 2$), то $\bar{D}$ — в матче забито более двух голов ($L+Z > 2$). Событие $\bar{C} \cup \bar{D}$ означает, что счёт матча не 3:0, ИЛИ в матче забито более двух голов. Проверим, может ли какой-либо счёт не удовлетворять этому условию. Чтобы условие не выполнилось, должны быть ложными обе его части: счёт равен 3:0, и одновременно в матче забито не более двух голов. Эти два утверждения противоречат друг другу, так как при счёте 3:0 забито 3 гола, что больше двух. Следовательно, для любого возможного счёта матча хотя бы одно из условий ($\bar{C}$ или $\bar{D}$) будет истинным. Также можно было воспользоваться свойством $\bar{C} \cup \bar{D} = \overline{C \cap D}$. Событие $C \cap D$ означает, что счёт 3:0 и при этом забито не более 2 голов. Это невозможное событие ($C \cap D = \emptyset$). Дополнение к невозможному событию есть достоверное событие, то есть оно произойдет при любом исходе матча.
Ответ: любой возможный счёт.