Номер 17.8, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 17. Операции над событиями. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 17.8, страница 148.

17.8. Опыт состоит в том, что наугад выбирают действительное число.

В этом опыте рассматривают следующие события:

$A$ – выбранное число принадлежит промежутку $[0; 2];$

$B$ – выбранное число принадлежит промежутку $(0; +\infty);$

$C$ – выбранное число принадлежит промежутку $[1; 3).$

С помощью числовых промежутков запишите множество тех чисел, которые могли быть выбраны, если произошло событие:

1) $A \cup B;$

2) $A \cap C;$

3) $\overline{B};$

4) $A \cap \overline{C};$

5) $A \cap B \cap C.$

Для решения задачи представим события A, B и C в виде числовых промежутков, где $x$ — выбранное действительное число:

Событие A: $x \in [0; 2]$

Событие B: $x \in (0; +\infty)$

Событие C: $x \in [1; 3)$

Универсальным множеством, то есть множеством всех возможных исходов, является множество всех действительных чисел $\mathbb{R} = (-\infty; +\infty)$.

1) $A \cup B$

Объединение событий $A \cup B$ означает, что произошло хотя бы одно из событий: A или B. Это соответствует объединению числовых промежутков. Мы ищем множество чисел, которые принадлежат промежутку $[0; 2]$ или промежутку $(0; +\infty)$.

Объединяя эти два множества, мы получаем все числа, начиная от 0 (включительно, из множества A) и до плюс бесконечности (из множества B).

$A \cup B = [0; 2] \cup (0; +\infty) = [0; +\infty)$.

Ответ: $[0; +\infty)$.

2) $A \cap C$

Пересечение событий $A \cap C$ означает, что произошли оба события: и A, и C. Это соответствует пересечению (нахождению общей части) числовых промежутков $[0; 2]$ и $[1; 3)$.

Общей частью для этих промежутков будут все числа, которые больше или равны 1 и одновременно меньше или равны 2.

$A \cap C = [0; 2] \cap [1; 3) = [1; 2]$.

Ответ: $[1; 2]$.

3) $\bar{B}$

Событие $\bar{B}$ является дополнением (противоположным событием) к событию B. Оно означает, что событие B не произошло. Мы ищем множество всех действительных чисел, которые не принадлежат промежутку $B = (0; +\infty)$.

Если число не больше нуля, то оно ему меньше или равно. Следовательно, дополнением к множеству всех положительных чисел является множество всех неположительных чисел.

$\bar{B} = \mathbb{R} \setminus (0; +\infty) = (-\infty; 0]$.

Ответ: $(-\infty; 0]$.

4) $A \cap \bar{C}$

Это событие означает, что произошло событие A, но не произошло событие C. Сначала найдем дополнение к C, то есть $\bar{C}$.

$C = [1; 3)$, значит, $\bar{C}$ — это все числа, которые либо меньше 1, либо больше или равны 3.

$\bar{C} = (-\infty; 1) \cup [3; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение множества $A = [0; 2]$ с множеством $\bar{C}$.

$A \cap \bar{C} = [0; 2] \cap \left((-\infty; 1) \cup [3; +\infty)\right)$.

Пересечение с промежутком $[3; +\infty)$ пустое. Остается найти пересечение $[0; 2]$ и $(-\infty; 1)$. Общей частью является промежуток от 0 (включительно) до 1 (не включительно).

Это также можно рассматривать как разность множеств $A \setminus C = [0; 2] \setminus [1; 3) = [0; 1)$.

Ответ: $[0; 1)$.

5) $A \cap B \cap C$

Это событие означает, что произошли все три события одновременно. Мы ищем общую часть трех промежутков: $A = [0; 2]$, $B = (0; +\infty)$ и $C = [1; 3)$.

Сначала найдем пересечение $A \cap B$:

$A \cap B = [0; 2] \cap (0; +\infty) = (0; 2]$.

Теперь пересечем полученный результат с множеством C:

$(A \cap B) \cap C = (0; 2] \cap [1; 3)$.

Общей частью этих двух промежутков являются все числа, которые больше или равны 1 и меньше или равны 2.

$A \cap B \cap C = [1; 2]$.

Ответ: $[1; 2]$.