Страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.3. Шоколадное яйцо с сюрпризом содержит внутри игрушку или для мальчика (машинку или фигурку пирата), или для девочки (куклу или браслет). Событие $A$ состоит в том, что выбранное наугад шоколадное яйцо с сюрпризом содержит игрушку для мальчика, а событие $B$ – в том, что шоколадное яйцо с сюрпризом содержит браслет. Найдите среди событий $X, Y, Z, T$ событие: 1) $\overline{A}$, 2) $A \cup B$, 3) $A \cap \overline{B}$, где:

X – «шоколадное яйцо с сюрпризом содержит куклу»;

Y – «шоколадное яйцо с сюрпризом содержит игрушку для девочки»;

Z – «шоколадное яйцо с сюрпризом содержит машинку или фигурку пирата»;

T – «шоколадное яйцо с сюрпризом не содержит куклу».

Рис. 17.8

Для решения задачи сначала определим все возможные элементарные исходы. Шоколадное яйцо может содержать один из четырех видов игрушек: машинку, фигурку пирата, куклу или браслет.

Определим события в терминах этих исходов:

• Событие $A$: «шоколадное яйцо содержит игрушку для мальчика». Это означает, что в яйце машинка или фигурка пирата.
• Событие $B$: «шоколадное яйцо содержит браслет».
• Событие $X$: «шоколадное яйцо содержит куклу».
• Событие $Y$: «шоколадное яйцо содержит игрушку для девочки». Это означает, что в яйце кукла или браслет.
• Событие $Z$: «шоколадное яйцо содержит машинку или фигурку пирата».
• Событие $T$: «шоколадное яйцо не содержит куклу». Это означает, что в яйце машинка, фигурка пирата или браслет.

Теперь найдем соответствия для каждого из заданных выражений.

1) $\bar{A}$

Событие $\bar{A}$ является противоположным событию $A$. Если событие $A$ — «шоколадное яйцо содержит игрушку для мальчика», то событие $\bar{A}$ — «шоколадное яйцо не содержит игрушку для мальчика». Это эквивалентно тому, что «шоколадное яйцо содержит игрушку для девочки» (куклу или браслет). Среди предложенных событий этому описанию соответствует событие $Y$.
Ответ: $Y$.

2) $A \cup B$

Событие $A \cup B$ (объединение событий $A$ и $B$) означает, что произошло хотя бы одно из этих событий: либо событие $A$, либо событие $B$. То есть, «шоколадное яйцо содержит игрушку для мальчика (машинку или фигурку пирата) или содержит браслет». Таким образом, в яйце может быть машинка, фигурка пирата или браслет. Это событие можно описать как «шоколадное яйцо не содержит куклу». Среди предложенных событий этому описанию соответствует событие $T$.
Ответ: $T$.

3) $A \cap \bar{B}$

Событие $A \cap \bar{B}$ (пересечение событий $A$ и $\bar{B}$) означает, что оба эти события произошли одновременно. Сначала определим событие $\bar{B}$. Если событие $B$ — «шоколадное яйцо содержит браслет», то событие $\bar{B}$ — «шоколадное яйцо не содержит браслет». Тогда событие $A \cap \bar{B}$ означает: «шоколадное яйцо содержит игрушку для мальчика и не содержит браслет». Поскольку игрушки для мальчика (машинка и фигурка пирата) и так не являются браслетом, то условие «не содержит браслет» не исключает ни одного из исходов события $A$. Таким образом, событие $A \cap \bar{B}$ полностью совпадает с событием $A$: «шоколадное яйцо содержит игрушку для мальчика», то есть машинку или фигурку пирата. Среди предложенных событий этому описанию соответствует событие $Z$.
Ответ: $Z$.

Рис. 17.8

17.4. Диаграмма (рис. 17.8) иллюстрирует событие $A$, состоящее в том, что наугад выбранный ученик 11 «А» класса имеет светлые волосы. Каждая красная точка на диаграмме представляет ученика. Найдите вероятность того, что наугад выбранный ученик 11 «А» класса:
1) имеет светлые волосы;
2) имеет тёмные волосы.

Для решения задачи воспользуемся диаграммой Венна, представленной на рисунке. Каждая красная точка на диаграмме обозначает одного ученика 11 «А» класса. Весь прямоугольник представляет всех учеников класса.

Событие A, состоящее в том, что у наугад выбранного ученика светлые волосы, представлено кругом с меткой A. Ученики со светлыми волосами — это точки внутри этого круга.

Для нахождения вероятности нам необходимо определить:

• Общее число возможных исходов (общее количество учеников в классе).
• Число благоприятных исходов (количество учеников с определенным цветом волос).

Посчитаем общее количество учеников в классе, сосчитав все красные точки на диаграмме.

Количество учеников со светлыми волосами (точек внутри круга A): $m_A = 6$.

Количество учеников с тёмными волосами (точек вне круга A): $m_{\text{не }A} = 7$.

Общее количество учеников в классе: $N = m_A + m_{\text{не }A} = 6 + 7 = 13$.

Вероятность события вычисляется по классической формуле: $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число равновозможных исходов.

1) имеет светлые волосы

Требуется найти вероятность того, что у случайно выбранного ученика светлые волосы. Это соответствует событию A.

Число благоприятных исходов — это количество учеников со светлыми волосами: $m = 6$.

Общее число исходов — это общее количество учеников в классе: $N = 13$.

Вероятность данного события равна: $P(A) = \frac{m}{N} = \frac{6}{13}$.

Ответ: $\frac{6}{13}$

2) имеет тёмные волосы

Требуется найти вероятность того, что у случайно выбранного ученика тёмные волосы. Будем считать, что если волосы не светлые, то они тёмные. Это событие является противоположным событию A.

Число благоприятных исходов — это количество учеников с тёмными волосами (точки вне круга A): $m = 7$.

Общее число исходов — это общее количество учеников в классе: $N = 13$.

Вероятность данного события равна: $P(\text{тёмные волосы}) = \frac{m}{N} = \frac{7}{13}$.

Этот результат также можно получить, используя формулу вероятности противоположного события: $P(\text{не } A) = 1 - P(A) = 1 - \frac{6}{13} = \frac{13}{13} - \frac{6}{13} = \frac{7}{13}$.

Ответ: $\frac{7}{13}$

17.5. Среди членов спортклуба выбирают наугад одного человека. Событие $A$ состоит в том, что выбранный человек занимается в тренажёрном зале, а событие $B$ — в том, что он плавает в бассейне. В чём состоит событие, проиллюстрированное на диаграмме (рис. 17.9)?

Рис. 17.9

a
Событие, состоящее в том, что человек занимается в тренажёрном зале, но не плавает в бассейне. Это событие можно записать как $A \setminus B$.

б
Событие, состоящее во всех возможных исходах, то есть все пространство событий (универсальное множество). Это событие можно записать как $S$.

в
Событие, состоящее в том, что человек не занимается в тренажёрном зале и не плавает в бассейне. Это событие можно записать как $(A \cup B)^c$.

г
Событие, состоящее в том, что человек занимается в тренажёрном зале или плавает в бассейне (или и тем, и другим). Это событие можно записать как $A \cup B$.

д
Событие, состоящее в том, что человек занимается в тренажёрном зале. Это событие можно записать как $A$.

е
Событие, состоящее в том, что человек занимается в тренажёрном зале и плавает в бассейне. Это событие можно записать как $A \cap B$.

В задаче даны два события:
Событие $A$: выбранный человек занимается в тренажёрном зале.
Событие $B$: выбранный человек плавает в бассейне.
На диаграммах Эйлера-Венна показаны различные комбинации этих событий. Проанализируем каждую диаграмму.

а) На диаграмме заштрихована область, общая для кругов $A$ и $B$. Эта область представляет собой пересечение событий $A$ и $B$, которое обозначается как $A \cap B$. Событие $A \cap B$ происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события одновременно. В данном случае это означает, что выбранный человек занимается в тренажёрном зале и при этом плавает в бассейне.
Ответ: Выбранный человек занимается в тренажёрном зале и плавает в бассейне.

б) На диаграмме заштрихована область внутри прямоугольника, но вне обоих кругов $A$ и $B$. Эта область представляет собой событие, противоположное объединению событий $A$ и $B$. Оно обозначается как $\overline{A \cup B}$. Это событие означает, что не происходит ни событие $A$, ни событие $B$. В данном случае это означает, что выбранный человек не занимается в тренажёрном зале и не плавает в бассейне.
Ответ: Выбранный человек не занимается в тренажёрном зале и не плавает в бассейне.

в) На диаграмме заштрихована вся область, соответствующая кругу $B$. Это означает, что произошло событие $B$, вне зависимости от того, произошло ли событие $A$. В данном случае это означает, что выбранный человек плавает в бассейне (при этом он может как заниматься, так и не заниматься в тренажёрном зале).
Ответ: Выбранный человек плавает в бассейне.

г) На диаграмме заштрихована вся область, занимаемая кругами $A$ и $B$ вместе. Эта область представляет собой объединение событий $A$ и $B$, которое обозначается как $A \cup B$. Событие $A \cup B$ происходит, если происходит хотя бы одно из событий: $A$ или $B$ (или оба вместе). В данном случае это означает, что выбранный человек либо занимается в тренажёрном зале, либо плавает в бассейне, либо делает и то, и другое.
Ответ: Выбранный человек занимается в тренажёрном зале или плавает в бассейне.

д) На диаграмме заштрихована часть круга $A$, которая не пересекается с кругом $B$. Эта область представляет собой разность событий $A$ и $B$, которая обозначается как $A \setminus B$. Событие $A \setminus B$ происходит, если событие $A$ происходит, а событие $B$ не происходит. В данном случае это означает, что выбранный человек занимается в тренажёрном зале, но не плавает в бассейне.
Ответ: Выбранный человек занимается в тренажёрном зале, но не плавает в бассейне.

е) На диаграмме заштрихована часть круга $B$, которая не пересекается с кругом $A$. Эта область представляет собой разность событий $B$ и $A$, которая обозначается как $B \setminus A$. Событие $B \setminus A$ происходит, если событие $B$ происходит, а событие $A$ не происходит. В данном случае это означает, что выбранный человек плавает в бассейне, но не занимается в тренажёрном зале.
Ответ: Выбранный человек плавает в бассейне, но не занимается в тренажёрном зале.