Страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.16. В столовой предлагается три первых блюда — солянка, борщ и уха. Среди покупающих первое блюдо солянку выбирает каждый второй, борщ — каждый третий, а уху — каждый шестой человек. Какова вероятность того, что очередной посетитель, купивший первое блюдо, не выберет борщ?

Для решения задачи определим вероятности выбора каждого из блюд. Пусть событие $A$ – посетитель выбирает солянку, событие $B$ – посетитель выбирает борщ, и событие $C$ – посетитель выбирает уху.

Согласно условию, солянку выбирает каждый второй, следовательно, вероятность выбора солянки:
$P(A) = \frac{1}{2}$

Борщ выбирает каждый третий, значит, вероятность выбора борща:
$P(B) = \frac{1}{3}$

Уху выбирает каждый шестой, значит, вероятность выбора ухи:
$P(C) = \frac{1}{6}$

События выбора солянки, борща и ухи являются несовместными и образуют полную группу, так как посетитель, покупающий первое блюдо, обязательно выберет одно из них. Проверим это, сложив их вероятности:
$P(A) + P(B) + P(C) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Нам нужно найти вероятность того, что очередной посетитель, купивший первое блюдо, не выберет борщ. Это событие, противоположное событию $B$ (выбор борща). Обозначим его как $\bar{B}$.

Вероятность противоположного события можно найти по формуле:
$P(\bar{B}) = 1 - P(B)$

Подставим известное значение вероятности выбора борща:
$P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Другой способ решения — это найти вероятность того, что посетитель выберет либо солянку, либо уху. Так как эти события несовместны (посетитель не может выбрать оба блюда одновременно), их вероятности можно сложить:
$P(\text{не борщ}) = P(A) + P(C) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{2}{3}$

17.17. Игральный кубик подбросили дважды. Событие A состоит в том, что сумма очков, выпавших на кубике, чётная, а событие B – в том, что по крайней мере один раз выпала единица. Найдите вероятность события:

1) $\bar{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

При двукратном броске игрального кубика общее число равновозможных исходов составляет $n = 6 \times 6 = 36$. Каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(x, y)$, где $x$ — число очков при первом броске, а $y$ — при втором.

Событие $A$ заключается в том, что сумма очков чётная. Сумма двух целых чисел чётна, если оба числа имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные).

На гранях кубика 3 чётных числа ({2, 4, 6}) и 3 нечётных ({1, 3, 5}). Число исходов, где оба числа чётные: $3 \times 3 = 9$. Число исходов, где оба числа нечётные: $3 \times 3 = 9$. Таким образом, общее число благоприятных исходов для события $A$ равно $m_A = 9 + 9 = 18$. Вероятность события $A$: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

Событие $B$ заключается в том, что по крайней мере один раз выпала единица. Проще найти вероятность противоположного события $\bar{B}$ — ни разу не выпала единица. Для каждого броска есть 5 исходов, не являющихся единицей ({2, 3, 4, 5, 6}). Число исходов для $\bar{B}$ равно $5 \times 5 = 25$. Количество благоприятных исходов для события $B$: $m_B = n - 25 = 36 - 25 = 11$. Вероятность события $B$: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{11}{36}$.

1) $\bar{A}$;

Событие $\bar{A}$ является противоположным событию $A$. Оно состоит в том, что сумма очков, выпавших на кубике, нечётная. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. Поскольку $P(A) = \frac{1}{2}$, то вероятность события $\bar{A}$ равна: $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) $A \cap B$;

Событие $A \cap B$ (пересечение событий) означает, что события $A$ и $B$ наступили одновременно. То есть, сумма очков чётная, и при этом хотя бы раз выпала единица. Если один из результатов — 1 (нечётное число), то для получения чётной суммы второй результат также должен быть нечётным. Нечётные числа на кубике — {1, 3, 5}. Таким образом, благоприятными исходами являются пары, где есть единица и второе число нечётное. Это пары: (1, 1), (1, 3), (1, 5), а также (3, 1) и (5, 1). Всего таких исходов 5. Количество благоприятных исходов $m_{A \cap B} = 5$. Вероятность события $A \cap B$: $P(A \cap B) = \frac{m_{A \cap B}}{n} = \frac{5}{36}$.

Ответ: $\frac{5}{36}$

3) $A \cup B$.

Событие $A \cup B$ (объединение событий) означает, что наступило хотя бы одно из событий: либо сумма очков чётная, либо хотя бы раз выпала единица. Вероятность объединения событий вычисляется по формуле сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Мы уже нашли все необходимые значения: $P(A) = \frac{18}{36}$, $P(B) = \frac{11}{36}$ и $P(A \cap B) = \frac{5}{36}$. Подставляем их в формулу: $P(A \cup B) = \frac{18}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{18 + 11 - 5}{36} = \frac{24}{36}$. Сокращаем полученную дробь: $P(A \cup B) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

17.18. Правильную треугольную пирамиду, грани которой окрашены в жёлтый, зелёный, красный и синий цвета, подбросили дважды. Пусть событие $A$ состоит в том, что оба раза пирамида упала на одну и ту же грань, а событие $B$ – в том, что в первый раз пирамида упала на жёлтую или на зелёную грань. Найдите вероятность события:

1) $\overline{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

Поскольку правильная треугольная пирамида (тетраэдр) имеет 4 грани, и она является правильной, то при броске каждая грань имеет равные шансы оказаться в основании. Цвета граней: жёлтый (Ж), зелёный (З), красный (К) и синий (С). Эксперимент состоит из двух бросков пирамиды. Так как броски независимы, общее число равновозможных исходов равно произведению числа исходов для каждого броска: $N = 4 \times 4 = 16$. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару цветов, например, (Ж, К) означает, что в первый раз выпала жёлтая грань, а во второй — красная.

Событие A состоит в том, что оба раза пирамида упала на одну и ту же грань. Этому событию соответствуют следующие исходы: (Ж, Ж), (З, З), (К, К), (С, С). Число благоприятствующих событию A исходов: $n(A) = 4$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{n(A)}{N} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

Событие B состоит в том, что в первый раз пирамида упала на жёлтую или на зелёную грань. Первый исход может быть Ж или З (2 варианта), второй — любой из четырёх цветов (4 варианта). Число благоприятствующих событию B исходов: $n(B) = 2 \times 4 = 8$. Исходы для события B: (Ж, Ж), (Ж, З), (Ж, К), (Ж, С), (З, Ж), (З, З), (З, К), (З, С). Вероятность события B: $P(B) = \frac{n(B)}{N} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем вероятности указанных событий.

1) $\overline{A}$;
Событие $\overline{A}$ является противоположным событию A. Оно означает, что пирамида оба раза упала на разные грани. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. Подставим найденное значение $P(A)$: $P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

2) $A \cap B$;
Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) означает, что происходят оба события одновременно: "оба раза выпала одна и та же грань" И "в первый раз выпала жёлтая или зелёная грань". Этому условию удовлетворяют только два исхода: (Ж, Ж) и (З, З). Число благоприятствующих событию $A \cap B$ исходов: $n(A \cap B) = 2$. Вероятность этого события: $P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{N} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

3) $A \cup B$.
Событие $A \cup B$ (объединение событий A и B) означает, что происходит хотя бы одно из событий: "выпала одна и та же грань" ИЛИ "в первый раз выпала жёлтая или зелёная грань". Вероятность объединения двух событий вычисляется по формуле: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Мы уже вычислили все необходимые вероятности: $P(A) = \frac{1}{4}$, $P(B) = \frac{1}{2}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{8}$. Подставим эти значения в формулу: $P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{6-1}{8} = \frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{5}{8}$

17.19. Среди абитуриентов механико-математического факультета университета есть призёры областных олимпиад и отличники. Вероятность встретить среди абитуриентов призёра областной олимпиады равна 20%, отличника — 35%, а призёра областной олимпиады или отличника — 43%. Какова вероятность встретить среди абитуриентов призёра областной олимпиады и отличника в одном лице?

Для решения этой задачи воспользуемся основной формулой теории вероятностей для суммы двух событий.

Пусть событие A заключается в том, что случайно выбранный абитуриент является призёром областной олимпиады.

Пусть событие B заключается в том, что случайно выбранный абитуриент является отличником.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

• Вероятность встретить призёра областной олимпиады: $P(A) = 20\% = 0.20$
• Вероятность встретить отличника: $P(B) = 35\% = 0.35$
• Вероятность встретить призёра областной олимпиады или отличника (вероятность объединения событий A и B): $P(A \cup B) = 43\% = 0.43$

Нам нужно найти вероятность встретить абитуриента, который является и призёром, и отличником. Это соответствует вероятности пересечения событий A и B, то есть $P(A \cap B)$.

Формула сложения вероятностей для двух совместных событий выглядит следующим образом:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Выразим из этой формулы искомую вероятность $P(A \cap B)$:$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

Теперь подставим известные значения в формулу:$P(A \cap B) = 0.20 + 0.35 - 0.43$$P(A \cap B) = 0.55 - 0.43$$P(A \cap B) = 0.12$

Таким образом, вероятность встретить среди абитуриентов призёра областной олимпиады и отличника в одном лице составляет 0.12, или 12%.

Ответ: 0.12 (или 12%).

17.20. Выпускник университета хочет работать в банке или в страховой компании. Побывав в этих учреждениях на собеседованиях, он оценивает вероятность быть принятым на работу в банк в 0,5, а в страховую компанию – в 0,6. Кроме того, он считает, что ему поступит предложение из обоих мест с вероятностью 0,4. Как он должен оценить вероятность быть принятым на работу?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения для событий:

A – выпускник будет принят на работу в банк.

B – выпускник будет принят на работу в страховую компанию.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

Вероятность быть принятым на работу в банк: $P(A) = 0.5$.

Вероятность быть принятым на работу в страховую компанию: $P(B) = 0.6$.

Вероятность того, что ему поступит предложение из обоих мест (то есть наступят оба события A и B), равна $P(A \cap B) = 0.4$.

Вопрос "Как он должен оценить вероятность быть принятым на работу?" означает, что нужно найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий: либо A, либо B, либо оба вместе. Это вероятность объединения событий A и B, которая обозначается как $P(A \cup B)$.

Поскольку события A и B совместные (могут произойти одновременно), для нахождения вероятности их объединения используется формула сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи:

$P(A \cup B) = 0.5 + 0.6 - 0.4$

Проведем вычисления:

$P(A \cup B) = 1.1 - 0.4 = 0.7$

Следовательно, выпускник должен оценить вероятность быть принятым на работу как 0,7.

Ответ: 0,7

17.21. Международные финансовые аналитики провели исследование и выяснили, что вероятность возрастания курса евро к доллару в следующем месяце составляет 0,55, вероятность возрастания курса швейцарского франка к доллару – 0,35, а вероятность того, что вырастут курсы обеих европейских валют к доллару, – 0,23. Найдите вероятность того, что вырастет курс, по крайней мере, одной европейской валюты.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения для событий:

Событие A — курс евро к доллару возрастет.

Событие B — курс швейцарского франка к доллару возрастет.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

Вероятность события A: $P(A) = 0,55$.

Вероятность события B: $P(B) = 0,35$.

Вероятность того, что вырастут курсы обеих валют (то есть одновременного наступления событий A и B): $P(A \cap B) = 0,23$.

Требуется найти вероятность того, что вырастет курс по крайней мере одной европейской валюты. Это событие является объединением событий A и B (наступит или событие A, или событие B, или оба вместе). Поскольку эти события совместны (могут произойти одновременно), вероятность их объединения вычисляется по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Подставим известные значения в формулу и выполним вычисления:

$P(A \cup B) = 0,55 + 0,35 - 0,23 = 0,90 - 0,23 = 0,67$

Таким образом, вероятность того, что вырастет курс по крайней мере одной из двух европейских валют, составляет 0,67.

Ответ: 0,67

17.22. Мужчины дарят женщинам подарки на 8 Марта. Вероятность того, что женщина получит в подарок цветы и не получит в подарок духи, равна $20\%$, духи без цветов – $10\%$, цветы и духи вместе – $15\%$. Какова вероятность того, что женщина получит на 8 Марта в подарок:

1) цветы;

2) духи?

Для решения задачи введем следующие обозначения для событий:

• $C$ – женщина получит в подарок цветы.
• $D$ – женщина получит в подарок духи.
• $\overline{D}$ – женщина не получит в подарок духи.
• $\overline{C}$ – женщина не получит в подарок цветы.

Исходя из условия задачи, нам даны следующие вероятности в виде десятичных дробей:

• Вероятность получить цветы и не получить духи: $P(C \cap \overline{D}) = 20\% = 0.20$.
• Вероятность получить духи и не получить цветы: $P(D \cap \overline{C}) = 10\% = 0.10$.
• Вероятность получить и цветы, и духи вместе: $P(C \cap D) = 15\% = 0.15$.

1) цветы;

Событие "женщина получит цветы" ($C$) состоит из двух несовместных (взаимоисключающих) событий:

1. Женщина получит цветы и духи ($C \cap D$).
2. Женщина получит цветы, но не получит духи ($C \cap \overline{D}$).

Вероятность события $C$ равна сумме вероятностей этих двух событий. Это можно выразить формулой сложения вероятностей для несовместных событий:

$P(C) = P(C \cap D) + P(C \cap \overline{D})$

Подставим известные значения из условия:

$P(C) = 0.15 + 0.20 = 0.35$

Чтобы выразить эту вероятность в процентах, умножим результат на 100:

$0.35 \times 100\% = 35\%$

Ответ: 35%.

2) духи?

Аналогично, событие "женщина получит духи" ($D$) состоит из двух несовместных событий:

1. Женщина получит духи и цветы ($D \cap C$).
2. Женщина получит духи, но не получит цветы ($D \cap \overline{C}$).

Вероятность события $D$ равна сумме вероятностей этих двух событий:

$P(D) = P(D \cap C) + P(D \cap \overline{C})$

Заметим, что событие "получить духи и цветы" ($D \cap C$) — это то же самое, что и "получить цветы и духи" ($C \cap D$), поэтому $P(D \cap C) = P(C \cap D) = 0.15$.

Подставим известные значения:

$P(D) = 0.15 + 0.10 = 0.25$

Выразим эту вероятность в процентах:

$0.25 \times 100\% = 25\%$

Ответ: 25%.