Номер 17.17, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 17. Операции над событиями. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 17.17, страница 150.

17.17. Игральный кубик подбросили дважды. Событие A состоит в том, что сумма очков, выпавших на кубике, чётная, а событие B – в том, что по крайней мере один раз выпала единица. Найдите вероятность события:

1) $\bar{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

При двукратном броске игрального кубика общее число равновозможных исходов составляет $n = 6 \times 6 = 36$. Каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(x, y)$, где $x$ — число очков при первом броске, а $y$ — при втором.

Событие $A$ заключается в том, что сумма очков чётная. Сумма двух целых чисел чётна, если оба числа имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные).

На гранях кубика 3 чётных числа ({2, 4, 6}) и 3 нечётных ({1, 3, 5}). Число исходов, где оба числа чётные: $3 \times 3 = 9$. Число исходов, где оба числа нечётные: $3 \times 3 = 9$. Таким образом, общее число благоприятных исходов для события $A$ равно $m_A = 9 + 9 = 18$. Вероятность события $A$: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

Событие $B$ заключается в том, что по крайней мере один раз выпала единица. Проще найти вероятность противоположного события $\bar{B}$ — ни разу не выпала единица. Для каждого броска есть 5 исходов, не являющихся единицей ({2, 3, 4, 5, 6}). Число исходов для $\bar{B}$ равно $5 \times 5 = 25$. Количество благоприятных исходов для события $B$: $m_B = n - 25 = 36 - 25 = 11$. Вероятность события $B$: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{11}{36}$.

1) $\bar{A}$;

Событие $\bar{A}$ является противоположным событию $A$. Оно состоит в том, что сумма очков, выпавших на кубике, нечётная. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. Поскольку $P(A) = \frac{1}{2}$, то вероятность события $\bar{A}$ равна: $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) $A \cap B$;

Событие $A \cap B$ (пересечение событий) означает, что события $A$ и $B$ наступили одновременно. То есть, сумма очков чётная, и при этом хотя бы раз выпала единица. Если один из результатов — 1 (нечётное число), то для получения чётной суммы второй результат также должен быть нечётным. Нечётные числа на кубике — {1, 3, 5}. Таким образом, благоприятными исходами являются пары, где есть единица и второе число нечётное. Это пары: (1, 1), (1, 3), (1, 5), а также (3, 1) и (5, 1). Всего таких исходов 5. Количество благоприятных исходов $m_{A \cap B} = 5$. Вероятность события $A \cap B$: $P(A \cap B) = \frac{m_{A \cap B}}{n} = \frac{5}{36}$.

Ответ: $\frac{5}{36}$

3) $A \cup B$.

Событие $A \cup B$ (объединение событий) означает, что наступило хотя бы одно из событий: либо сумма очков чётная, либо хотя бы раз выпала единица. Вероятность объединения событий вычисляется по формуле сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Мы уже нашли все необходимые значения: $P(A) = \frac{18}{36}$, $P(B) = \frac{11}{36}$ и $P(A \cap B) = \frac{5}{36}$. Подставляем их в формулу: $P(A \cup B) = \frac{18}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{18 + 11 - 5}{36} = \frac{24}{36}$. Сокращаем полученную дробь: $P(A \cup B) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$