Номер 3, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 17. Операции над событиями. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 3, страница 146.

3. Чему равна вероятность объединения двух несовместных событий?

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к основным понятиям и аксиомам теории вероятностей.

Сначала дадим определение. Два случайных события называются несовместными (или взаимоисключающими), если они не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания. То есть, наступление одного из них исключает наступление другого. Например, при однократном броске игральной кости события «выпала 1» и «выпала 6» являются несовместными. Для двух несовместных событий $A$ и $B$ вероятность их одновременного наступления (пересечения) равна нулю: $P(A \cap B) = 0$.

Объединением (или суммой) двух событий $A$ и $B$ называется событие $A \cup B$, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из этих событий (или $A$, или $B$). Для нахождения вероятности объединения двух произвольных событий существует общая формула, называемая теоремой сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Эта формула учитывает, что если события могут произойти вместе (являются совместными), то вероятность их общей части $P(A \cap B)$ нужно вычесть, чтобы не посчитать её дважды.

Однако, в случае несовместных событий, как было сказано ранее, $P(A \cap B) = 0$. Подставляя это значение в общую формулу, мы получаем частный случай теоремы сложения, который и является ответом на поставленный вопрос: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0$
Следовательно, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Это правило также известно как аксиома сложения вероятностей для несовместных событий.

Ответ: Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. Если $A$ и $B$ являются несовместными событиями, то вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них, вычисляется по формуле: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.