Номер 16.16, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.16, страница 135.

16.16. В выражении $ (x^4 + \frac{1}{x})^n $ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Известно, что шестой член разложения имеет вид $ 56x^7 $. Найдите $n$.

Для нахождения значения $n$ воспользуемся формулой бинома Ньютона для $(k+1)$-го члена разложения $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

В нашем случае $a = x^4$, $b = \frac{1}{x} = x^{-1}$. Нас интересует шестой член разложения, следовательно, $k+1=6$, что означает $k=5$.

Подставим эти значения в формулу:

$T_6 = \binom{n}{5} (x^4)^{n-5} \left(\frac{1}{x}\right)^5$

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$T_6 = \binom{n}{5} x^{4(n-5)} x^{-5} = \binom{n}{5} x^{4n-20-5} = \binom{n}{5} x^{4n-25}$

По условию задачи, шестой член разложения равен $56x^7$. Приравняем полученное нами выражение к данному:

$\binom{n}{5} x^{4n-25} = 56x^7$

Для того чтобы это равенство было верным для любого $x$, коэффициенты при одинаковых степенях $x$ должны быть равны. Это дает нам систему из двух уравнений:

1. Равенство степеней: $4n-25 = 7$

2. Равенство коэффициентов: $\binom{n}{5} = 56$

Решим первое уравнение, чтобы найти $n$:

$4n = 7 + 25$

$4n = 32$

$n = 8$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $n=8$ второму уравнению. Вычислим биномиальный коэффициент $\binom{8}{5}$:

$\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 8 \cdot 7 = 56$

Так как $56=56$, второе уравнение также выполняется. Следовательно, значение $n$ найдено верно.

Ответ: $n=8$.