Номер 16.15, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 16. Бином Ньютона. Упражнения - номер 16.15, страница 135.

Учебник.

16.15. В выражении $(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})^{22}$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какой член разложения можно представить в виде $cx^2$, где $c$ — некоторое число?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$, который имеет вид $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $k$ — индекс члена, принимающий целые значения от 0 до $n$. В заданном выражении $(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})^{22}$ имеем следующие компоненты:
$a = \sqrt{x} = x^{1/2}$
$b = \frac{1}{\sqrt[4]{x}} = x^{-1/4}$
$n = 22$
Подставим эти значения в формулу общего члена разложения:
$T_{k+1} = C_{22}^k (x^{1/2})^{22-k} (x^{-1/4})^k$
Теперь упростим выражение, используя свойства степеней, чтобы найти общий вид степени переменной $x$:
$T_{k+1} = C_{22}^k x^{\frac{1}{2}(22-k)} x^{-\frac{1}{4}k} = C_{22}^k x^{11 - \frac{k}{2} - \frac{k}{4}}$
Чтобы сложить показатели степеней, приведем их к общему знаменателю:
$11 - \frac{k}{2} - \frac{k}{4} = 11 - \frac{2k}{4} - \frac{k}{4} = 11 - \frac{3k}{4}$
Таким образом, общий член разложения равен $T_{k+1} = C_{22}^k x^{11 - \frac{3k}{4}}$.
По условию задачи, мы ищем член разложения, который можно представить в виде $cx^2$. Это значит, что показатель степени при $x$ должен быть равен 2. Составим и решим уравнение относительно $k$:
$11 - \frac{3k}{4} = 2$
Перенесем 2 в левую часть, а дробь в правую:
$11 - 2 = \frac{3k}{4}$
$9 = \frac{3k}{4}$
Умножим обе части уравнения на 4:
$36 = 3k$
Отсюда находим $k$:
$k = \frac{36}{3} = 12$
Полученное значение $k=12$ является целым числом и удовлетворяет условию $0 \le k \le 22$. Номер члена в разложении определяется как $k+1$. Следовательно, искомый член является $(12+1)$-м, то есть 13-м.
Ответ: 13-й член разложения.