Номер 16.11, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 16. Бином Ньютона. Упражнения - номер 16.11, страница 134.

Учебник.

16.11. Найдите отношение суммы чисел в 100-й строке треугольника Паскаля к сумме чисел в 200-й строке.

$2^{100}$

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством треугольника Паскаля, которое связывает сумму чисел в строке с ее номером.

Сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля (при нумерации строк, начиная с нулевой) равна $2^n$. Давайте докажем это свойство.

Элементы $n$-й строки треугольника Паскаля являются биномиальными коэффициентами $\binom{n}{k}$ для $k = 0, 1, \dots, n$. Их сумма, таким образом, равна $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$.

Согласно формуле бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Если мы подставим в эту формулу $a=1$ и $b=1$, то получим:

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^{n-k} 1^k$

$2^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$

Это и доказывает, что сумма всех чисел в $n$-й строке равна $2^n$.

Теперь применим это свойство к условию задачи.

Сумма чисел в 100-й строке треугольника Паскаля ($S_{100}$) соответствует $n=100$. Следовательно, она равна:

$S_{100} = 2^{100}$

Аналогично, сумма чисел в 200-й строке ($S_{200}$) соответствует $n=200$. Следовательно, она равна:

$S_{200} = 2^{200}$

Нам нужно найти отношение суммы чисел в 100-й строке к сумме чисел в 200-й строке, то есть $\frac{S_{100}}{S_{200}}$.

$\frac{S_{100}}{S_{200}} = \frac{2^{100}}{2^{200}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$\frac{2^{100}}{2^{200}} = 2^{100-200} = 2^{-100}$

Отрицательная степень означает обратную величину:

$2^{-100} = \frac{1}{2^{100}}$

Таким образом, искомое отношение равно $\frac{1}{2^{100}}$.

Ответ: $\frac{1}{2^{100}}$