Номер 16.11, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.11, страница 134.
№16.11 (с. 134)
Учебник. №16.11 (с. 134)
скриншот условия

16.11. Найдите отношение суммы чисел в 100-й строке треугольника Паскаля к сумме чисел в 200-й строке.
$2^{100}$
Решение. №16.11 (с. 134)

Решение 2. №16.11 (с. 134)
Для решения этой задачи воспользуемся свойством треугольника Паскаля, которое связывает сумму чисел в строке с ее номером.
Сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля (при нумерации строк, начиная с нулевой) равна $2^n$. Давайте докажем это свойство.
Элементы $n$-й строки треугольника Паскаля являются биномиальными коэффициентами $\binom{n}{k}$ для $k = 0, 1, \dots, n$. Их сумма, таким образом, равна $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$.
Согласно формуле бинома Ньютона:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
Если мы подставим в эту формулу $a=1$ и $b=1$, то получим:
$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^{n-k} 1^k$
$2^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$
Это и доказывает, что сумма всех чисел в $n$-й строке равна $2^n$.
Теперь применим это свойство к условию задачи.
Сумма чисел в 100-й строке треугольника Паскаля ($S_{100}$) соответствует $n=100$. Следовательно, она равна:
$S_{100} = 2^{100}$
Аналогично, сумма чисел в 200-й строке ($S_{200}$) соответствует $n=200$. Следовательно, она равна:
$S_{200} = 2^{200}$
Нам нужно найти отношение суммы чисел в 100-й строке к сумме чисел в 200-й строке, то есть $\frac{S_{100}}{S_{200}}$.
$\frac{S_{100}}{S_{200}} = \frac{2^{100}}{2^{200}}$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$\frac{2^{100}}{2^{200}} = 2^{100-200} = 2^{-100}$
Отрицательная степень означает обратную величину:
$2^{-100} = \frac{1}{2^{100}}$
Таким образом, искомое отношение равно $\frac{1}{2^{100}}$.
Ответ: $\frac{1}{2^{100}}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 16.11 расположенного на странице 134 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16.11 (с. 134), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.