Номер 16.6, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 16. Бином Ньютона. Упражнения - номер 16.6, страница 134.

Учебник.

16.6. Вычислите сумму $C_{100}^0 - C_{100}^1 + C_{100}^2 - C_{100}^3 + \dots + C_{100}^{100}$.

Решение.

Решение 2.

Для вычисления данной суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k = C_{n}^{0} a^n b^0 + C_{n}^{1} a^{n-1}b^1 + C_{n}^{2} a^{n-2}b^2 + \dots + C_{n}^{n} a^0 b^n$.

Искомая сумма представляет собой выражение:

$S = C_{100}^{0} - C_{100}^{1} + C_{100}^{2} - C_{100}^{3} + \dots + C_{100}^{100}$.

Это выражение является знакочередующейся суммой биномиальных коэффициентов. Мы можем заметить, что оно соответствует разложению бинома Ньютона при $n=100$. Чтобы знаки членов чередовались, начиная с плюса, нужно выбрать подходящие значения для $a$ и $b$.

Пусть $a=1$ и $b=-1$. Подставим эти значения и $n=100$ в формулу бинома Ньютона:

$(1 + (-1))^{100} = \sum_{k=0}^{100} C_{100}^{k} (1)^{100-k} (-1)^k$.

Вычислим значение левой части равенства:

$(1 - 1)^{100} = 0^{100} = 0$.

Теперь рассмотрим правую часть. Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, выражение упрощается до:

$\sum_{k=0}^{100} C_{100}^{k} (-1)^k = C_{100}^{0}(-1)^0 + C_{100}^{1}(-1)^1 + C_{100}^{2}(-1)^2 + C_{100}^{3}(-1)^3 + \dots + C_{100}^{100}(-1)^{100}$.

Раскрывая степени $(-1)$, получаем в точности искомую сумму:

$C_{100}^{0} - C_{100}^{1} + C_{100}^{2} - C_{100}^{3} + \dots + C_{100}^{100}$.

Таким образом, мы приравняли левую и правую части и получили, что искомая сумма равна 0.

Ответ: 0