Номер 16.6, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.6, страница 134.
№16.6 (с. 134)
Учебник. №16.6 (с. 134)
скриншот условия

16.6. Вычислите сумму $C_{100}^0 - C_{100}^1 + C_{100}^2 - C_{100}^3 + \dots + C_{100}^{100}$.
Решение. №16.6 (с. 134)

Решение 2. №16.6 (с. 134)
Для вычисления данной суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k = C_{n}^{0} a^n b^0 + C_{n}^{1} a^{n-1}b^1 + C_{n}^{2} a^{n-2}b^2 + \dots + C_{n}^{n} a^0 b^n$.
Искомая сумма представляет собой выражение:
$S = C_{100}^{0} - C_{100}^{1} + C_{100}^{2} - C_{100}^{3} + \dots + C_{100}^{100}$.
Это выражение является знакочередующейся суммой биномиальных коэффициентов. Мы можем заметить, что оно соответствует разложению бинома Ньютона при $n=100$. Чтобы знаки членов чередовались, начиная с плюса, нужно выбрать подходящие значения для $a$ и $b$.
Пусть $a=1$ и $b=-1$. Подставим эти значения и $n=100$ в формулу бинома Ньютона:
$(1 + (-1))^{100} = \sum_{k=0}^{100} C_{100}^{k} (1)^{100-k} (-1)^k$.
Вычислим значение левой части равенства:
$(1 - 1)^{100} = 0^{100} = 0$.
Теперь рассмотрим правую часть. Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, выражение упрощается до:
$\sum_{k=0}^{100} C_{100}^{k} (-1)^k = C_{100}^{0}(-1)^0 + C_{100}^{1}(-1)^1 + C_{100}^{2}(-1)^2 + C_{100}^{3}(-1)^3 + \dots + C_{100}^{100}(-1)^{100}$.
Раскрывая степени $(-1)$, получаем в точности искомую сумму:
$C_{100}^{0} - C_{100}^{1} + C_{100}^{2} - C_{100}^{3} + \dots + C_{100}^{100}$.
Таким образом, мы приравняли левую и правую части и получили, что искомая сумма равна 0.
Ответ: 0
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 16.6 расположенного на странице 134 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16.6 (с. 134), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.