Номер 16.7, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 16. Бином Ньютона. Упражнения - номер 16.7, страница 134.

Учебник.

16.7. Вычислите сумму $2^{300} - C_{300}^1 2^{299} + C_{300}^2 2^{298} - C_{300}^3 2^{297} + \dots - C_{300}^{299} 2 + 1.$

Решение.

Решение 2.

Для вычисления данной суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона для выражения $(a+b)^n$ имеет следующий вид:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k = C_{n}^{0} a^n b^0 + C_{n}^{1} a^{n-1} b^1 + C_{n}^{2} a^{n-2} b^2 + \dots + C_{n}^{n} a^0 b^n$.
Здесь $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальные коэффициенты.

Заданное в условии выражение $S = 2^{300} - C_{300}^{1} 2^{299} + C_{300}^{2} 2^{298} - C_{300}^{3} 2^{297} + \dots - C_{300}^{299} 2 + 1$ имеет структуру, характерную для разложения бинома. Чередование знаков указывает на то, что один из членов в биноме $(a+b)$ отрицательный.

Рассмотрим разложение выражения $(2-1)^{300}$. Для этого применим формулу бинома Ньютона при $n=300$, $a=2$ и $b=-1$:
$(2+(-1))^{300} = \sum_{k=0}^{300} C_{300}^{k} 2^{300-k} (-1)^k$.

Распишем эту сумму по членам:
$(2-1)^{300} = C_{300}^{0} 2^{300}(-1)^0 + C_{300}^{1} 2^{299}(-1)^1 + C_{300}^{2} 2^{298}(-1)^2 + C_{300}^{3} 2^{297}(-1)^3 + \dots + C_{300}^{299} 2^{1}(-1)^{299} + C_{300}^{300} 2^{0}(-1)^{300}$.

Упростим выражение, учитывая, что $(-1)^k$ равно $1$ для четных $k$ и $-1$ для нечетных $k$. Это создает знакочередующийся ряд:
$(2-1)^{300} = C_{300}^{0} 2^{300} - C_{300}^{1} 2^{299} + C_{300}^{2} 2^{298} - C_{300}^{3} 2^{297} + \dots - C_{300}^{299} 2^1 + C_{300}^{300} 2^0$.

Теперь воспользуемся известными свойствами биномиальных коэффициентов: $C_{n}^{0} = 1$ и $C_{n}^{n} = 1$.
Первый член разложения равен $C_{300}^{0} 2^{300} = 1 \cdot 2^{300} = 2^{300}$.
Последний член разложения равен $C_{300}^{300} 2^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

Подставив эти значения, мы видим, что полученное выражение в точности совпадает с исходной суммой:
$2^{300} - C_{300}^{1} 2^{299} + C_{300}^{2} 2^{298} - C_{300}^{3} 2^{297} + \dots - C_{300}^{299} 2 + 1$.

Следовательно, искомая сумма равна значению выражения $(2-1)^{300}$.
Вычислим это значение:
$(2-1)^{300} = 1^{300} = 1$.

Ответ: 1