Страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.1. Запишите формулу бинома Ньютона для $(a+b)^6$.

16.1.

Формула бинома Ньютона для возведения двучлена $(a+b)$ в произвольную натуральную степень $n$ имеет следующий вид:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^k a^{n-k}b^k + \dots + C_n^n b^n$

Здесь $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты, которые вычисляются по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашей задаче необходимо записать формулу для $(a+b)^6$, то есть для $n=6$. Разложение будет содержать $n+1=7$ слагаемых.

$(a+b)^6 = C_6^0 a^6 + C_6^1 a^5b + C_6^2 a^4b^2 + C_6^3 a^3b^3 + C_6^4 a^2b^4 + C_6^5 ab^5 + C_6^6 b^6$

Теперь вычислим значения биномиальных коэффициентов $C_6^k$ для $k$ от 0 до 6.

$C_6^0 = \frac{6!}{0!(6-0)!} = \frac{6!}{1 \cdot 6!} = 1$

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1 \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2 \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{30}{2} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{120}{6} = 20$

Для нахождения оставшихся коэффициентов можно воспользоваться свойством симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_6^4 = C_6^{6-4} = C_6^2 = 15$

$C_6^5 = C_6^{6-5} = C_6^1 = 6$

$C_6^6 = C_6^{6-6} = C_6^0 = 1$

Коэффициенты также можно найти из строки треугольника Паскаля для $n=6$: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Подставим найденные значения коэффициентов в разложение бинома:

$(a+b)^6 = 1 \cdot a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + 1 \cdot b^6$

Ответ: $(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

16.2. Запишите формулу бинома Ньютона для $(a+b)^7$.

16.2. Формула бинома Ньютона для возведения двучлена $(a+b)$ в натуральную степень $n$ имеет следующий вид:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1}b^1 + \dots + C_n^n a^0 b^n$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальные коэффициенты.

В данном задании необходимо записать формулу для $n=7$:
$(a+b)^7 = C_7^0 a^7 + C_7^1 a^6b + C_7^2 a^5b^2 + C_7^3 a^4b^3 + C_7^4 a^3b^4 + C_7^5 a^2b^5 + C_7^6 ab^6 + C_7^7 b^7$.

Вычислим значения биномиальных коэффициентов $C_7^k$. Их также можно найти как коэффициенты в 7-й строке треугольника Паскаля (нумерация строк начинается с 0).
$C_7^0 = \frac{7!}{0!(7-0)!} = 1$
$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = 7$
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$
$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$
Используя свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, получаем остальные коэффициенты:
$C_7^4 = C_7^3 = 35$
$C_7^5 = C_7^2 = 21$
$C_7^6 = C_7^1 = 7$
$C_7^7 = C_7^0 = 1$

Подставляя найденные коэффициенты в формулу разложения, получаем окончательный результат.
Ответ: $(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$.

16.3. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(a + *)^4 = * + * + * + * + 16b^4$,

2) $(* + *)^5 = x^{10} + 10x^8 + * + * + * + *$.

1) Для решения данной задачи необходимо использовать формулу бинома Ньютона для степени $n=4$:
$(x+y)^4 = \binom{4}{0}x^4 + \binom{4}{1}x^3y + \binom{4}{2}x^2y^2 + \binom{4}{3}xy^3 + \binom{4}{4}y^4$.
Биномиальные коэффициенты для $n=4$ равны 1, 4, 6, 4, 1. Таким образом, разложение имеет вид:
$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$.
В исходном тождестве $(a + *)^4 = * + * + * + * + 16b^4$ первый член в скобках — это $a$. Следовательно, мы можем положить $x=a$.
Последний член разложения в правой части равен $16b^4$. Сравнивая его с последним членом формулы $y^4$, получаем уравнение $y^4 = 16b^4$.
Поскольку $16b^4 = (2b)^4$, мы можем заключить, что $y=2b$. (Также возможен вариант $y=-2b$, который привел бы к чередованию знаков в разложении, но для простоты выберем положительный корень).
Теперь, зная $x=a$ и $y=2b$, мы можем найти все неизвестные члены, подставив эти значения в формулу бинома:
$(a+2b)^4 = a^4 + 4a^3(2b) + 6a^2(2b)^2 + 4a(2b)^3 + (2b)^4$
Выполним вычисления:
$= a^4 + 8a^3b + 6a^2(4b^2) + 4a(8b^3) + 16b^4$
$= a^4 + 8a^3b + 24a^2b^2 + 32ab^3 + 16b^4$.
Таким образом, мы нашли все одночлены, которыми нужно заменить звёздочки.
Ответ: Искомые одночлены: $2b$ в скобках; $a^4$, $8a^3b$, $24a^2b^2$, $32ab^3$ в правой части. Тождество выглядит следующим образом: $(a+2b)^4 = a^4 + 8a^3b + 24a^2b^2 + 32ab^3 + 16b^4$.

2) Рассмотрим тождество $(* + *)^5 = x^{10} + 10x^8 + * + * + * + *$.
Применим формулу бинома Ньютона для степени $n=5$:
$(X+Y)^5 = \binom{5}{0}X^5 + \binom{5}{1}X^4Y + \binom{5}{2}X^3Y^2 + \binom{5}{3}X^2Y^3 + \binom{5}{4}XY^4 + \binom{5}{5}Y^5$.
Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны 1, 5, 10, 10, 5, 1. Разложение имеет вид:
$(X+Y)^5 = X^5 + 5X^4Y + 10X^3Y^2 + 10X^2Y^3 + 5XY^4 + Y^5$.
Сравним эту общую формулу с данным в задаче выражением. Нам известны первые два члена разложения:
Первый член: $X^5 = x^{10}$.
Второй член: $5X^4Y = 10x^8$.
Из первого уравнения $X^5 = (x^2)^5$ следует, что $X = x^2$.
Теперь подставим найденное значение $X=x^2$ во второе уравнение, чтобы найти $Y$:
$5(x^2)^4Y = 10x^8$
$5x^8Y = 10x^8$
Разделив обе части на $5x^8$ (при $x \ne 0$), получаем $Y=2$.
Итак, двучлен в скобках — это $(x^2+2)$. Теперь найдем остальные члены его разложения в пятой степени, подставляя $X=x^2$ и $Y=2$ в формулу:
Третий член: $10X^3Y^2 = 10(x^2)^3(2)^2 = 10x^6 \cdot 4 = 40x^6$.
Четвертый член: $10X^2Y^3 = 10(x^2)^2(2)^3 = 10x^4 \cdot 8 = 80x^4$.
Пятый член: $5XY^4 = 5(x^2)(2)^4 = 5x^2 \cdot 16 = 80x^2$.
Шестой член: $Y^5 = 2^5 = 32$.
Таким образом, все пропущенные одночлены найдены.
Ответ: Искомые одночлены: $x^2$ и $2$ в скобках; $40x^6$, $80x^4$, $80x^2$, $32$ в правой части. Тождество выглядит следующим образом: $(x^2+2)^5 = x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32$.

16.4. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $ (* - 2n)^4 = m^4 - * + * - * + *; $

2) $ (* + *)^5 = y^{15} + * + * + * + * + 32z^5. $

1)

Данное тождество представляет собой раскрытие двучлена (бинома) в четвертой степени. Для его решения воспользуемся формулой бинома Ньютона для случая $(a - b)^4$:

$(a - b)^4 = \binom{4}{0}a^4b^0 - \binom{4}{1}a^3b^1 + \binom{4}{2}a^2b^2 - \binom{4}{3}a^1b^3 + \binom{4}{4}a^0b^4$

Вычислив биномиальные коэффициенты, получаем:

$(a - b)^4 = 1 \cdot a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + 1 \cdot b^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$.

Теперь сравним эту общую формулу с данным выражением: $(\ast - 2n)^4 = m^4 - \ast + \ast - \ast + \ast$.

Из левой части $(\ast - 2n)^4$ видно, что второй член бинома $b = 2n$.

Из правой части видно, что первый член разложения равен $m^4$. В общей формуле первый член — это $a^4$. Следовательно, $a^4 = m^4$, откуда $a = m$.

Таким образом, первая звёздочка в скобках — это $m$. Исходное выражение в левой части: $(m - 2n)^4$.

Теперь, зная $a = m$ и $b = 2n$, найдём остальные члены разложения (звёздочки в правой части), подставляя их в общую формулу:

$(m - 2n)^4 = m^4 - 4(m^3)(2n) + 6(m^2)(2n)^2 - 4(m)(2n)^3 + (2n)^4$

Упростим каждый член:

$m^4 - 4 \cdot 2 \cdot m^3n + 6 \cdot 4 \cdot m^2n^2 - 4 \cdot 8 \cdot mn^3 + 16n^4$

$m^4 - 8m^3n + 24m^2n^2 - 32mn^3 + 16n^4$

Заменив звёздочки полученными одночленами, получаем искомое тождество.

Ответ: $(m - 2n)^4 = m^4 - 8m^3n + 24m^2n^2 - 32mn^3 + 16n^4$.

2)

Это тождество является раскрытием бинома в пятой степени. Воспользуемся формулой бинома Ньютона для случая $(a + b)^5$:

$(a + b)^5 = \binom{5}{0}a^5b^0 + \binom{5}{1}a^4b^1 + \binom{5}{2}a^3b^2 + \binom{5}{3}a^2b^3 + \binom{5}{4}a^1b^4 + \binom{5}{5}a^0b^5$

Вычислив биномиальные коэффициенты, получаем:

$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$.

Сравним эту формулу с данным выражением: $(\ast + \ast)^5 = y^{15} + \ast + \ast + \ast + \ast + 32z^5$.

Пусть искомые одночлены в скобках — это $a$ и $b$.

Первый член разложения в правой части равен $y^{15}$. В общей формуле это $a^5$. Значит, $a^5 = y^{15} = (y^3)^5$, откуда $a = y^3$.

Последний член разложения в правой части равен $32z^5$. В общей формуле это $b^5$. Значит, $b^5 = 32z^5 = 2^5z^5 = (2z)^5$, откуда $b = 2z$.

Таким образом, звёздочки в скобках — это $y^3$ и $2z$. Исходное выражение в левой части: $(y^3 + 2z)^5$.

Теперь, зная $a = y^3$ и $b = 2z$, найдём остальные члены разложения, подставляя их в общую формулу:

$(y^3 + 2z)^5 = (y^3)^5 + 5(y^3)^4(2z) + 10(y^3)^3(2z)^2 + 10(y^3)^2(2z)^3 + 5(y^3)(2z)^4 + (2z)^5$

Упростим каждый член:

$y^{15} + 5 \cdot 2 \cdot y^{12}z + 10 \cdot 4 \cdot y^9z^2 + 10 \cdot 8 \cdot y^6z^3 + 5 \cdot 16 \cdot y^3z^4 + 32z^5$

$y^{15} + 10y^{12}z + 40y^9z^2 + 80y^6z^3 + 80y^3z^4 + 32z^5$

Заменив звёздочки полученными одночленами, получаем искомое тождество.

Ответ: $(y^3 + 2z)^5 = y^{15} + 10y^{12}z + 40y^9z^2 + 80y^6z^3 + 80y^3z^4 + 32z^5$.

16.5. Вычислите сумму

$3^n + C_n^1 3^{n-1} 2^1 + C_n^2 3^{n-2} 2^2 + \dots + C_n^{n-1} 3^1 2^{n-1} + 2^n$.

16.5.

Данная сумма представляет собой разложение бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона для натуральной степени $n$ имеет вид:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$

Учитывая, что по определению $C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$, формулу можно записать в развернутом виде так:

$(a+b)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^{n-1} b^{n-1} + b^n$

Сравним эту общую формулу с выражением, данным в задаче:

$S = 3^n + C_n^1 3^{n-1} 2^1 + C_n^2 3^{n-2} 2^2 + \dots + C_n^{n-1} 3^1 2^{n-1} + 2^n$

Можно заметить, что данное выражение полностью соответствует разложению бинома Ньютона, где в качестве $a$ выступает число 3, а в качестве $b$ — число 2.

Следовательно, для вычисления суммы достаточно подставить эти значения в формулу бинома:

$S = (3+2)^n = 5^n$

Ответ: $5^n$

16.6. Вычислите сумму $C_{100}^0 - C_{100}^1 + C_{100}^2 - C_{100}^3 + \dots + C_{100}^{100}$.

Для вычисления данной суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k = C_{n}^{0} a^n b^0 + C_{n}^{1} a^{n-1}b^1 + C_{n}^{2} a^{n-2}b^2 + \dots + C_{n}^{n} a^0 b^n$.

Искомая сумма представляет собой выражение:

$S = C_{100}^{0} - C_{100}^{1} + C_{100}^{2} - C_{100}^{3} + \dots + C_{100}^{100}$.

Это выражение является знакочередующейся суммой биномиальных коэффициентов. Мы можем заметить, что оно соответствует разложению бинома Ньютона при $n=100$. Чтобы знаки членов чередовались, начиная с плюса, нужно выбрать подходящие значения для $a$ и $b$.

Пусть $a=1$ и $b=-1$. Подставим эти значения и $n=100$ в формулу бинома Ньютона:

$(1 + (-1))^{100} = \sum_{k=0}^{100} C_{100}^{k} (1)^{100-k} (-1)^k$.

Вычислим значение левой части равенства:

$(1 - 1)^{100} = 0^{100} = 0$.

Теперь рассмотрим правую часть. Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, выражение упрощается до:

$\sum_{k=0}^{100} C_{100}^{k} (-1)^k = C_{100}^{0}(-1)^0 + C_{100}^{1}(-1)^1 + C_{100}^{2}(-1)^2 + C_{100}^{3}(-1)^3 + \dots + C_{100}^{100}(-1)^{100}$.

Раскрывая степени $(-1)$, получаем в точности искомую сумму:

$C_{100}^{0} - C_{100}^{1} + C_{100}^{2} - C_{100}^{3} + \dots + C_{100}^{100}$.

Таким образом, мы приравняли левую и правую части и получили, что искомая сумма равна 0.

Ответ: 0

16.7. Вычислите сумму $2^{300} - C_{300}^1 2^{299} + C_{300}^2 2^{298} - C_{300}^3 2^{297} + \dots - C_{300}^{299} 2 + 1.$

Для вычисления данной суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона для выражения $(a+b)^n$ имеет следующий вид:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k = C_{n}^{0} a^n b^0 + C_{n}^{1} a^{n-1} b^1 + C_{n}^{2} a^{n-2} b^2 + \dots + C_{n}^{n} a^0 b^n$.
Здесь $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальные коэффициенты.

Заданное в условии выражение $S = 2^{300} - C_{300}^{1} 2^{299} + C_{300}^{2} 2^{298} - C_{300}^{3} 2^{297} + \dots - C_{300}^{299} 2 + 1$ имеет структуру, характерную для разложения бинома. Чередование знаков указывает на то, что один из членов в биноме $(a+b)$ отрицательный.

Рассмотрим разложение выражения $(2-1)^{300}$. Для этого применим формулу бинома Ньютона при $n=300$, $a=2$ и $b=-1$:
$(2+(-1))^{300} = \sum_{k=0}^{300} C_{300}^{k} 2^{300-k} (-1)^k$.

Распишем эту сумму по членам:
$(2-1)^{300} = C_{300}^{0} 2^{300}(-1)^0 + C_{300}^{1} 2^{299}(-1)^1 + C_{300}^{2} 2^{298}(-1)^2 + C_{300}^{3} 2^{297}(-1)^3 + \dots + C_{300}^{299} 2^{1}(-1)^{299} + C_{300}^{300} 2^{0}(-1)^{300}$.

Упростим выражение, учитывая, что $(-1)^k$ равно $1$ для четных $k$ и $-1$ для нечетных $k$. Это создает знакочередующийся ряд:
$(2-1)^{300} = C_{300}^{0} 2^{300} - C_{300}^{1} 2^{299} + C_{300}^{2} 2^{298} - C_{300}^{3} 2^{297} + \dots - C_{300}^{299} 2^1 + C_{300}^{300} 2^0$.

Теперь воспользуемся известными свойствами биномиальных коэффициентов: $C_{n}^{0} = 1$ и $C_{n}^{n} = 1$.
Первый член разложения равен $C_{300}^{0} 2^{300} = 1 \cdot 2^{300} = 2^{300}$.
Последний член разложения равен $C_{300}^{300} 2^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

Подставив эти значения, мы видим, что полученное выражение в точности совпадает с исходной суммой:
$2^{300} - C_{300}^{1} 2^{299} + C_{300}^{2} 2^{298} - C_{300}^{3} 2^{297} + \dots - C_{300}^{299} 2 + 1$.

Следовательно, искомая сумма равна значению выражения $(2-1)^{300}$.
Вычислим это значение:
$(2-1)^{300} = 1^{300} = 1$.

Ответ: 1

16.8. Докажите, что:

$1 + C_{100}^{1} 3 + C_{100}^{2} 3^2 + \dots + C_{100}^{99} 3^{99} + 3^{100} = 5^{100} - C_{100}^{1} 5^{99} + C_{100}^{2} 5^{98} - \dots - C_{100}^{99} 5 + 1.$

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + ... + C_n^n b^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Рассмотрим левую часть равенства (ЛЧ):

$ЛЧ = 1 + C_{100}^1 \cdot 3 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + ... + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + 3^{100}$

Учитывая, что $1 = C_{100}^0$ и $3^{100} = C_{100}^{100} \cdot 3^{100}$, левую часть можно представить в виде суммы:

$ЛЧ = C_{100}^0 \cdot 3^0 + C_{100}^1 \cdot 3^1 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + ... + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + C_{100}^{100} \cdot 3^{100}$

Это выражение можно записать как $\sum_{k=0}^{100} C_{100}^k \cdot 3^k$. По формуле бинома Ньютона, это соответствует разложению $(1+3)^{100}$:

$ЛЧ = \sum_{k=0}^{100} C_{100}^k \cdot 1^{100-k} \cdot 3^k = (1+3)^{100} = 4^{100}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства (ПЧ):

$ПЧ = 5^{100} - C_{100}^1 \cdot 5^{99} + C_{100}^2 \cdot 5^{98} - ... - C_{100}^{99} \cdot 5 + 1$

Учитывая, что $5^{100} = C_{100}^0 \cdot 5^{100}$ и $1 = C_{100}^{100}$, а также заметив чередование знаков, перепишем правую часть в стандартном для бинома виде:

$ПЧ = C_{100}^0 \cdot 5^{100} - C_{100}^1 \cdot 5^{99} + C_{100}^2 \cdot 5^{98} - ... - C_{100}^{99} \cdot 5^1 + C_{100}^{100} \cdot 5^0$

Это выражение можно записать с использованием множителя $(-1)^k$:

$ПЧ = C_{100}^0 \cdot 5^{100} \cdot (-1)^0 + C_{100}^1 \cdot 5^{99} \cdot (-1)^1 + C_{100}^2 \cdot 5^{98} \cdot (-1)^2 + ... + C_{100}^{100} \cdot 5^0 \cdot (-1)^{100}$

Это выражение является разложением бинома $(5-1)^{100}$:

$ПЧ = \sum_{k=0}^{100} C_{100}^k \cdot 5^{100-k} \cdot (-1)^k = (5-1)^{100} = 4^{100}$

Таким образом, мы показали, что и левая, и правая части исходного равенства равны $4^{100}$:

$ЛЧ = 4^{100}$

$ПЧ = 4^{100}$

Следовательно, $ЛЧ = ПЧ$, что и доказывает тождество.

Ответ: Тождество доказано, так как обе его части равны $4^{100}$.

16.9. Докажите, что:

$1 + C_{100}^1 3 + C_{100}^2 3^2 + \dots + C_{100}^{99} 3^{99} + 3^{100} = 1 - C_{200}^1 3 + C_{200}^2 3^2 - \dots - C_{200}^{199} 3^{199} + 3^{200}$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности, используя формулу бинома Ньютона.

Рассмотрим левую часть (ЛЧ) равенства:

$1 + C_{100}^1 \cdot 3 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + 3^{100}$

Вспомним формулу бинома Ньютона для $(a+b)^n$:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n b^n$

где $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты.

Заметим, что $C_{100}^0 = 1$ и $C_{100}^{100} = 1$. Тогда левую часть можно переписать в виде полной суммы биномиального разложения:

$C_{100}^0 \cdot 3^0 + C_{100}^1 \cdot 3^1 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + C_{100}^{100} \cdot 3^{100}$

Это выражение в точности соответствует разложению $(1+3)^{100}$ (здесь $a=1, b=3, n=100$).

Следовательно, значение левой части равно:

$ЛЧ = (1+3)^{100} = 4^{100} = (2^2)^{100} = 2^{200}$

Теперь рассмотрим правую часть (ПЧ) равенства:

$1 - C_{200}^1 \cdot 3 + C_{200}^2 \cdot 3^2 - \dots - C_{200}^{199} \cdot 3^{199} + 3^{200}$

Эта знакочередующаяся сумма соответствует разложению бинома $(a-b)^n$:

$(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}(-b)^k = C_n^0 a^n - C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 - \dots + (-1)^n C_n^n b^n$

Учитывая, что $C_{200}^0=1$ и $C_{200}^{200}=1$, правую часть можно записать как:

$C_{200}^0 \cdot 3^0 - C_{200}^1 \cdot 3^1 + C_{200}^2 \cdot 3^2 - \dots - C_{200}^{199} \cdot 3^{199} + C_{200}^{200} \cdot 3^{200}$

Это выражение является разложением $(1-3)^{200}$ (здесь $a=1, b=3, n=200$).

Следовательно, значение правой части равно:

$ПЧ = (1-3)^{200} = (-2)^{200}$

Поскольку показатель степени 200 является чётным числом, то $(-2)^{200} = 2^{200}$.

$ПЧ = 2^{200}$

Мы получили, что левая часть равна $2^{200}$ и правая часть также равна $2^{200}$. Так как $ЛЧ = ПЧ$, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

16.10. Найдите отношение суммы чисел в 20-й строке треугольника Паскаля к сумме чисел в 19-й строке.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством треугольника Паскаля, согласно которому сумма чисел в любой строке равна степени двойки.

Сумма чисел в n-й строке треугольника Паскаля (при нумерации строк, начиная с $n=0$) вычисляется по формуле:

$S_n = 2^n$

Это свойство приводит к тому, что сумма чисел в каждой следующей строке ровно в два раза больше суммы чисел в предыдущей. То есть, для соседних строк с номерами $n$ и $n-1$ справедливо:

$\frac{S_n}{S_{n-1}} = \frac{2^n}{2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2^1 = 2$

В задаче требуется найти отношение суммы чисел в 20-й строке к сумме чисел в 19-й строке. Поскольку 20-я строка является следующей после 19-й, их суммы соотносятся как 2 к 1.

Обозначим сумму чисел в 20-й строке как $S_{20}$, а в 19-й строке как $S_{19}$. Тогда искомое отношение:

$\frac{S_{20}}{S_{19}} = 2$

Данный результат не зависит от того, начинается нумерация строк с 0 или с 1. Если нумерация начинается с 1, то сумма в k-й строке равна $2^{k-1}$. Тогда:

$S_{20} = 2^{20-1} = 2^{19}$

$S_{19} = 2^{19-1} = 2^{18}$

Их отношение также равно:

$\frac{S_{20}}{S_{19}} = \frac{2^{19}}{2^{18}} = 2$

Ответ: 2

16.11. Найдите отношение суммы чисел в 100-й строке треугольника Паскаля к сумме чисел в 200-й строке.

$2^{100}$

Для решения этой задачи воспользуемся свойством треугольника Паскаля, которое связывает сумму чисел в строке с ее номером.

Сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля (при нумерации строк, начиная с нулевой) равна $2^n$. Давайте докажем это свойство.

Элементы $n$-й строки треугольника Паскаля являются биномиальными коэффициентами $\binom{n}{k}$ для $k = 0, 1, \dots, n$. Их сумма, таким образом, равна $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$.

Согласно формуле бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Если мы подставим в эту формулу $a=1$ и $b=1$, то получим:

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^{n-k} 1^k$

$2^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$

Это и доказывает, что сумма всех чисел в $n$-й строке равна $2^n$.

Теперь применим это свойство к условию задачи.

Сумма чисел в 100-й строке треугольника Паскаля ($S_{100}$) соответствует $n=100$. Следовательно, она равна:

$S_{100} = 2^{100}$

Аналогично, сумма чисел в 200-й строке ($S_{200}$) соответствует $n=200$. Следовательно, она равна:

$S_{200} = 2^{200}$

Нам нужно найти отношение суммы чисел в 100-й строке к сумме чисел в 200-й строке, то есть $\frac{S_{100}}{S_{200}}$.

$\frac{S_{100}}{S_{200}} = \frac{2^{100}}{2^{200}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$\frac{2^{100}}{2^{200}} = 2^{100-200} = 2^{-100}$

Отрицательная степень означает обратную величину:

$2^{-100} = \frac{1}{2^{100}}$

Таким образом, искомое отношение равно $\frac{1}{2^{100}}$.

Ответ: $\frac{1}{2^{100}}$

16.12. В выражении $(\sqrt{5} + \sqrt[3]{3})^{100}$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых являются рациональными числами?

Для разложения выражения $(\sqrt{5} + \sqrt[3]{3})^{100}$ воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k$, где $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В данном случае $a = \sqrt{5} = 5^{1/2}$, $b = \sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$ и $n = 100$. Общий $(k+1)$-й член разложения $T_{k+1}$ (где $k$ — целое число от 0 до 100) имеет вид: $T_{k+1} = C_{100}^{k} (\sqrt{5})^{100-k} (\sqrt[3]{3})^k = C_{100}^{k} 5^{\frac{100-k}{2}} 3^{\frac{k}{3}}$

Для того чтобы слагаемое $T_{k+1}$ было рациональным числом, необходимо, чтобы степени, в которые возводятся основания 5 и 3, были целыми числами (поскольку биномиальный коэффициент $C_{100}^{k}$ всегда является целым, а значит, и рациональным числом).

Рассмотрим показатели степеней:
1. Показатель степени у числа 5: $\frac{100-k}{2}$. Это выражение будет целым, если $(100-k)$ будет делиться на 2 без остатка. Так как 100 — четное число, то и $k$ должно быть четным числом (т.е. кратным 2).
2. Показатель степени у числа 3: $\frac{k}{3}$. Это выражение будет целым, если $k$ будет делиться на 3 без остатка (т.е. кратным 3).

Таким образом, для того чтобы член разложения был рациональным, значение $k$ должно одновременно удовлетворять двум условиям: $k$ должно быть кратно 2 и $k$ должно быть кратно 3. Это эквивалентно тому, что $k$ должно быть кратно наименьшему общему кратному чисел 2 и 3, то есть НОК(2, 3) = 6.

Теперь найдем количество значений $k$ в диапазоне $0 \le k \le 100$, которые кратны 6. Такие значения $k$ можно представить в виде $k = 6m$, где $m$ — целое неотрицательное число. Подставим это выражение в неравенство для $k$: $0 \le 6m \le 100$ Разделим все части неравенства на 6: $0 \le m \le \frac{100}{6}$ $0 \le m \le 16.66...$

Поскольку $m$ должно быть целым числом, оно может принимать значения от 0 до 16 включительно: $m \in \{0, 1, 2, \dots, 16\}$. Общее количество таких значений $m$ равно $16 - 0 + 1 = 17$. Каждому из этих 17 значений $m$ соответствует уникальное значение $k$, при котором слагаемое в разложении будет рациональным.

Ответ: 17

16.13. В выражении $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[4]{2})^{800}$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых являются рациональными числами?

Для нахождения количества рациональных слагаемых в разложении выражения $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[4]{2})^{800}$ воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

В нашем случае $a = \sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$, $b = \sqrt[4]{2} = 2^{1/4}$ и $n=800$. Общий член разложения, обозначим его $T_{k+1}$, имеет вид: $T_{k+1} = \binom{800}{k} (\sqrt[3]{5})^{800-k} (\sqrt[4]{2})^k$, где $k$ — целое число от 0 до 800.

Перепишем это выражение, используя степенные обозначения: $T_{k+1} = \binom{800}{k} (5^{1/3})^{800-k} (2^{1/4})^k = \binom{800}{k} 5^{\frac{800-k}{3}} 2^{\frac{k}{4}}$

Слагаемое $T_{k+1}$ является рациональным числом, если все множители в его составе рациональны. Биномиальный коэффициент $\binom{800}{k}$ всегда является целым (а значит, и рациональным) числом. Следовательно, для того чтобы $T_{k+1}$ был рациональным, необходимо, чтобы степени чисел 5 и 2 были целыми числами. Это приводит к системе из двух условий для целочисленного индекса $k$:

1. Показатель степени у числа 5, то есть дробь $\frac{800-k}{3}$, должен быть целым числом. Это означает, что разность $(800-k)$ должна быть кратна 3.

2. Показатель степени у числа 2, то есть дробь $\frac{k}{4}$, должен быть целым числом. Это означает, что $k$ должно быть кратно 4.

Таким образом, нам нужно найти количество целых чисел $k$ в диапазоне $0 \le k \le 800$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $k$ делится на 4 и $800-k$ делится на 3.

Из первого условия следует, что $k$ можно представить в виде $k = 4m$, где $m$ — целое число. Подставим это в неравенство для $k$: $0 \le 4m \le 800$ Разделив на 4, получим диапазон для $m$: $0 \le m \le 200$

Теперь рассмотрим второе условие: $800-k$ должно быть кратно 3. Запишем это в виде сравнения по модулю 3: $800 - k \equiv 0 \pmod{3}$

Поскольку $800 = 3 \cdot 266 + 2$, то $800 \equiv 2 \pmod{3}$. Подставив $k=4m$ и $800 \equiv 2 \pmod{3}$ в сравнение, получим: $2 - 4m \equiv 0 \pmod{3}$

Так как $4 \equiv 1 \pmod{3}$, сравнение упрощается: $2 - m \equiv 0 \pmod{3}$ $m \equiv 2 \pmod{3}$

Итак, задача сводится к нахождению количества целых чисел $m$, которые удовлетворяют двум условиям: $0 \le m \le 200$ и $m \equiv 2 \pmod{3}$.

Такие числа $m$ образуют арифметическую прогрессию. Найдем первое и последнее значения $m$ в заданном диапазоне. Первое неотрицательное число $m$, дающее остаток 2 при делении на 3, это $m=2$. Чтобы найти последнее значение, заметим, что $200 = 3 \cdot 66 + 2$, значит $200 \equiv 2 \pmod{3}$. Таким образом, $m=200$ является последним подходящим значением.

Значения $m$, удовлетворяющие условию, это $2, 5, 8, \dots, 200$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=2$, последним членом $a_N=200$ и разностью $d=3$. Число членов $N$ можно найти по формуле: $N = \frac{a_N - a_1}{d} + 1$. $N = \frac{200 - 2}{3} + 1 = \frac{198}{3} + 1 = 66 + 1 = 67$.

Следовательно, существует 67 значений $m$, а значит, и 67 значений $k$, при которых слагаемые в разложении бинома будут рациональными числами.

Ответ: 67

16.14. При каком значении $n$ восьмой член разложения выражения $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2})^n$ по формуле бинома Ньютона не зависит от $x$?

Для нахождения члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$ используется формула общего члена: $$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$$ где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент, а $k$ — номер члена, начиная с нуля.

В заданном выражении $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2})^n$ имеем:
$a = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$
$b = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$

Нас интересует восьмой член разложения. В формуле общего члена это соответствует $k+1 = 8$, следовательно, $k = 7$.

Подставим значения $a$, $b$ и $k$ в формулу общего члена: $$T_8 = T_{7+1} = C_n^7 (x^{\frac{1}{3}})^{n-7} (x^{-2})^7$$

Теперь упростим полученное выражение, применив свойство степеней $(x^m)^p = x^{m \cdot p}$ и $x^m \cdot x^p = x^{m+p}$: $$T_8 = C_n^7 x^{\frac{1}{3}(n-7)} x^{-2 \cdot 7}$$ $$T_8 = C_n^7 x^{\frac{n-7}{3}} x^{-14}$$ $$T_8 = C_n^7 x^{\frac{n-7}{3} - 14}$$

Согласно условию, восьмой член разложения не должен зависеть от $x$. Это означает, что итоговый показатель степени у переменной $x$ должен быть равен нулю. Составим и решим уравнение: $$\frac{n-7}{3} - 14 = 0$$

Решаем уравнение: $$\frac{n-7}{3} = 14$$ $$n - 7 = 14 \cdot 3$$ $$n - 7 = 42$$ $$n = 42 + 7$$ $$n = 49$$

При $n=49$ показатель степени $x$ равен $\frac{49-7}{3} - 14 = \frac{42}{3} - 14 = 14 - 14 = 0$. Так как $x^0 = 1$, член разложения $T_8 = C_{49}^7$ не зависит от $x$.

Ответ: $n = 49$.