Номер 16.8, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.8, страница 134.

16.8. Докажите, что:

$1 + C_{100}^{1} 3 + C_{100}^{2} 3^2 + \dots + C_{100}^{99} 3^{99} + 3^{100} = 5^{100} - C_{100}^{1} 5^{99} + C_{100}^{2} 5^{98} - \dots - C_{100}^{99} 5 + 1.$

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + ... + C_n^n b^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Рассмотрим левую часть равенства (ЛЧ):

$ЛЧ = 1 + C_{100}^1 \cdot 3 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + ... + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + 3^{100}$

Учитывая, что $1 = C_{100}^0$ и $3^{100} = C_{100}^{100} \cdot 3^{100}$, левую часть можно представить в виде суммы:

$ЛЧ = C_{100}^0 \cdot 3^0 + C_{100}^1 \cdot 3^1 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + ... + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + C_{100}^{100} \cdot 3^{100}$

Это выражение можно записать как $\sum_{k=0}^{100} C_{100}^k \cdot 3^k$. По формуле бинома Ньютона, это соответствует разложению $(1+3)^{100}$:

$ЛЧ = \sum_{k=0}^{100} C_{100}^k \cdot 1^{100-k} \cdot 3^k = (1+3)^{100} = 4^{100}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства (ПЧ):

$ПЧ = 5^{100} - C_{100}^1 \cdot 5^{99} + C_{100}^2 \cdot 5^{98} - ... - C_{100}^{99} \cdot 5 + 1$

Учитывая, что $5^{100} = C_{100}^0 \cdot 5^{100}$ и $1 = C_{100}^{100}$, а также заметив чередование знаков, перепишем правую часть в стандартном для бинома виде:

$ПЧ = C_{100}^0 \cdot 5^{100} - C_{100}^1 \cdot 5^{99} + C_{100}^2 \cdot 5^{98} - ... - C_{100}^{99} \cdot 5^1 + C_{100}^{100} \cdot 5^0$

Это выражение можно записать с использованием множителя $(-1)^k$:

$ПЧ = C_{100}^0 \cdot 5^{100} \cdot (-1)^0 + C_{100}^1 \cdot 5^{99} \cdot (-1)^1 + C_{100}^2 \cdot 5^{98} \cdot (-1)^2 + ... + C_{100}^{100} \cdot 5^0 \cdot (-1)^{100}$

Это выражение является разложением бинома $(5-1)^{100}$:

$ПЧ = \sum_{k=0}^{100} C_{100}^k \cdot 5^{100-k} \cdot (-1)^k = (5-1)^{100} = 4^{100}$

Таким образом, мы показали, что и левая, и правая части исходного равенства равны $4^{100}$:

$ЛЧ = 4^{100}$

$ПЧ = 4^{100}$

Следовательно, $ЛЧ = ПЧ$, что и доказывает тождество.

Ответ: Тождество доказано, так как обе его части равны $4^{100}$.