Номер 16.1, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.1, страница 134.

16.1. Запишите формулу бинома Ньютона для $(a+b)^6$.

16.1.

Формула бинома Ньютона для возведения двучлена $(a+b)$ в произвольную натуральную степень $n$ имеет следующий вид:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^k a^{n-k}b^k + \dots + C_n^n b^n$

Здесь $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты, которые вычисляются по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашей задаче необходимо записать формулу для $(a+b)^6$, то есть для $n=6$. Разложение будет содержать $n+1=7$ слагаемых.

$(a+b)^6 = C_6^0 a^6 + C_6^1 a^5b + C_6^2 a^4b^2 + C_6^3 a^3b^3 + C_6^4 a^2b^4 + C_6^5 ab^5 + C_6^6 b^6$

Теперь вычислим значения биномиальных коэффициентов $C_6^k$ для $k$ от 0 до 6.

$C_6^0 = \frac{6!}{0!(6-0)!} = \frac{6!}{1 \cdot 6!} = 1$

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1 \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2 \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{30}{2} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{120}{6} = 20$

Для нахождения оставшихся коэффициентов можно воспользоваться свойством симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_6^4 = C_6^{6-4} = C_6^2 = 15$

$C_6^5 = C_6^{6-5} = C_6^1 = 6$

$C_6^6 = C_6^{6-6} = C_6^0 = 1$

Коэффициенты также можно найти из строки треугольника Паскаля для $n=6$: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Подставим найденные значения коэффициентов в разложение бинома:

$(a+b)^6 = 1 \cdot a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + 1 \cdot b^6$

Ответ: $(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$