Номер 15.28, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.28, страница 130.

15.28. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(a+1)^3$;2) $(m-3)^3$;3) $(a+2b)^3$;4) $(3-n)^3$;5) $(-2+3x)^3$;6) $(-3-2y)^3$.

Для решения данной задачи используются формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

• Формула куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Формула куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

1) Применим формулу куба суммы для выражения $(a + 1)^3$. В данном случае первое слагаемое — $a$, второе — $1$.

$(a + 1)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 + 1^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1$

Ответ: $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$

2) Применим формулу куба разности для выражения $(m - 3)^3$. В данном случае уменьшаемое — $m$, вычитаемое — $3$.

$(m - 3)^3 = m^3 - 3 \cdot m^2 \cdot 3 + 3 \cdot m \cdot 3^2 - 3^3 = m^3 - 9m^2 + 3m \cdot 9 - 27 = m^3 - 9m^2 + 27m - 27$

Ответ: $m^3 - 9m^2 + 27m - 27$

3) Применим формулу куба суммы для выражения $(a + 2b)^3$. Первое слагаемое — $a$, второе — $2b$.

$(a + 2b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 3a(4b^2) + 8b^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$

Ответ: $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$

4) Применим формулу куба разности для выражения $(3 - n)^3$. Уменьшаемое — $3$, вычитаемое — $n$.

$(3 - n)^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot n + 3 \cdot 3 \cdot n^2 - n^3 = 27 - 3 \cdot 9 \cdot n + 9n^2 - n^3 = 27 - 27n + 9n^2 - n^3$

Ответ: $27 - 27n + 9n^2 - n^3$

5) Перепишем выражение $(-2 + 3x)^3$ как $(3x - 2)^3$ и применим формулу куба разности. Уменьшаемое — $3x$, вычитаемое — $2$.

$(3x - 2)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot (3x) \cdot 2^2 - 2^3 = 27x^3 - 3 \cdot (9x^2) \cdot 2 + 9x \cdot 4 - 8 = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$

Ответ: $27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$

6) Для выражения $(-3 - 2y)^3$ сначала вынесем общий множитель $-1$ за скобки:

$(-3 - 2y)^3 = (-(3 + 2y))^3 = (-1)^3 \cdot (3 + 2y)^3 = -(3 + 2y)^3$

Теперь раскроем $(3 + 2y)^3$ по формуле куба суммы, где первое слагаемое — $3$, а второе — $2y$.

$(3 + 2y)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot (2y) + 3 \cdot 3 \cdot (2y)^2 + (2y)^3 = 27 + 54y + 36y^2 + 8y^3$

Наконец, применим знак минус ко всему полученному многочлену и запишем его в стандартном виде (по убыванию степеней $y$):

$-(8y^3 + 36y^2 + 54y + 27) = -8y^3 - 36y^2 - 54y - 27$

Ответ: $-8y^3 - 36y^2 - 54y - 27$