Номер 15.22, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.22, страница 130.

15.22. Для школьной лотереи подготовили 100 билетов, из которых 12 выигрышных. Первый ученик выбирает наугад 10 билетов. Сколько существует вариантов, при которых он выберет не менее 2 выигрышных билетов?

Для решения этой задачи мы воспользуемся методом от противного. Сначала найдем общее число способов выбрать 10 билетов из 100, а затем вычтем из этого числа количество способов, при которых ученик выберет менее двух выигрышных билетов (то есть 0 или 1 выигрышный билет).

В лотерее участвует 100 билетов, из них 12 выигрышных и, соответственно, $100 - 12 = 88$ проигрышных.

Поскольку порядок выбора билетов не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Найдем общее количество способов выбрать 10 билетов из 100. Это число сочетаний $C_{100}^{10}$: $N_{общ} = C_{100}^{10} = \frac{100!}{10!(100-10)!} = \frac{100!}{10!90!} = 17\,310\,309\,456\,440$

Теперь найдем количество неблагоприятных исходов, то есть вариантов, где выбрано менее 2 выигрышных билетов.

Случай 1: выбрано 0 выигрышных билетов. Это значит, что все 10 билетов выбраны из 88 проигрышных. Количество таких способов равно $C_{88}^{10}$: $N_0 = C_{12}^{0} \cdot C_{88}^{10} = 1 \cdot \frac{88!}{10!(88-10)!} = \frac{88!}{10!78!} = 4\,497\,353\,414\,112$

Случай 2: выбран 1 выигрышный билет. Это значит, что 1 билет выбран из 12 выигрышных, а остальные $10-1=9$ билетов — из 88 проигрышных. Количество таких способов равно произведению $C_{12}^{1}$ на $C_{88}^{9}$: $N_1 = C_{12}^{1} \cdot C_{88}^{9} = 12 \cdot \frac{88!}{9!(88-9)!} = 12 \cdot \frac{88!}{9!79!} = 12 \cdot 569\,285\,242\,292 = 6\,831\,422\,907\,504$

Общее количество неблагоприятных вариантов равно сумме $N_0 + N_1$: $N_0 + N_1 = 4\,497\,353\,414\,112 + 6\,831\,422\,907\,504 = 11\,328\,776\,321\,616$

Наконец, найдем искомое количество вариантов, при которых ученик выберет не менее 2 выигрышных билетов. Для этого вычтем из общего числа способов число неблагоприятных: $N_{\ge 2} = N_{общ} - (N_0 + N_1) = 17\,310\,309\,456\,440 - 11\,328\,776\,321\,616 = 5\,981\,533\,134\,824$

Ответ: $5\,981\,533\,134\,824$.