Номер 15.22, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.22, страница 130.

Учебник.

15.22. Для школьной лотереи подготовили 100 билетов, из которых 12 выигрышных. Первый ученик выбирает наугад 10 билетов. Сколько существует вариантов, при которых он выберет не менее 2 выигрышных билетов?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи мы воспользуемся методом от противного. Сначала найдем общее число способов выбрать 10 билетов из 100, а затем вычтем из этого числа количество способов, при которых ученик выберет менее двух выигрышных билетов (то есть 0 или 1 выигрышный билет).

В лотерее участвует 100 билетов, из них 12 выигрышных и, соответственно, $100 - 12 = 88$ проигрышных.

Поскольку порядок выбора билетов не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Найдем общее количество способов выбрать 10 билетов из 100. Это число сочетаний $C_{100}^{10}$: $N_{общ} = C_{100}^{10} = \frac{100!}{10!(100-10)!} = \frac{100!}{10!90!} = 17\,310\,309\,456\,440$

Теперь найдем количество неблагоприятных исходов, то есть вариантов, где выбрано менее 2 выигрышных билетов.

Случай 1: выбрано 0 выигрышных билетов. Это значит, что все 10 билетов выбраны из 88 проигрышных. Количество таких способов равно $C_{88}^{10}$: $N_0 = C_{12}^{0} \cdot C_{88}^{10} = 1 \cdot \frac{88!}{10!(88-10)!} = \frac{88!}{10!78!} = 4\,497\,353\,414\,112$

Случай 2: выбран 1 выигрышный билет. Это значит, что 1 билет выбран из 12 выигрышных, а остальные $10-1=9$ билетов — из 88 проигрышных. Количество таких способов равно произведению $C_{12}^{1}$ на $C_{88}^{9}$: $N_1 = C_{12}^{1} \cdot C_{88}^{9} = 12 \cdot \frac{88!}{9!(88-9)!} = 12 \cdot \frac{88!}{9!79!} = 12 \cdot 569\,285\,242\,292 = 6\,831\,422\,907\,504$

Общее количество неблагоприятных вариантов равно сумме $N_0 + N_1$: $N_0 + N_1 = 4\,497\,353\,414\,112 + 6\,831\,422\,907\,504 = 11\,328\,776\,321\,616$

Наконец, найдем искомое количество вариантов, при которых ученик выберет не менее 2 выигрышных билетов. Для этого вычтем из общего числа способов число неблагоприятных: $N_{\ge 2} = N_{общ} - (N_0 + N_1) = 17\,310\,309\,456\,440 - 11\,328\,776\,321\,616 = 5\,981\,533\,134\,824$

Ответ: $5\,981\,533\,134\,824$.