Номер 15.15, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.15, страница 129.

Учебник.

15.15. Среди 20 рабочих 7 штукатуров. Сколькими способами можно составить бригаду из 5 человек так, чтобы в неё входило 2 штукатура?

Решение.

Решение 2.

15.15.

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторику. Процесс формирования бригады можно разделить на два независимых этапа:

1. Выбор штукатуров.
2. Выбор остальных рабочих.

Поскольку порядок выбора людей в бригаду не имеет значения, для каждого этапа мы будем использовать формулу числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

Этап 1: Выбор штукатуров.
Согласно условию, в бригаде должно быть ровно 2 штукатура. Всего имеется 7 штукатуров. Рассчитаем количество способов выбрать 2 штукатуров из 7:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ способ.

Этап 2: Выбор остальных рабочих.
Бригада состоит из 5 человек. Так как 2 места уже заняты штукатурами, нужно выбрать еще $5 - 2 = 3$ человека.
Этих рабочих нужно выбрать из тех, кто не является штукатуром. Найдем их количество:
$20 \text{ (всего рабочих)} - 7 \text{ (штукатуров)} = 13$ рабочих.
Теперь рассчитаем количество способов выбрать 3 рабочих из 13:
$C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3!10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$ способов.

Общее количество способов.
Чтобы найти общее количество способов сформировать бригаду с заданными условиями, необходимо перемножить количество способов для каждого из независимых этапов (согласно правилу произведения в комбинаторике).
$N = C_7^2 \times C_{13}^3 = 21 \times 286 = 6006$ способов.

Ответ: 6006.