Номер 15.20, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.20, страница 129.

15.20. Комиссия, состоящая из 15 человек, может начать работу, если на заседании есть кворум, то есть присутствуют не менее 10 её членов. Сколько существует способов достичь кворума?

Задача состоит в том, чтобы найти общее количество способов, которыми может быть достигнут кворум. Комиссия состоит из 15 человек, а кворум считается достигнутым, если на заседании присутствует не менее 10 её членов. Это означает, что число присутствующих членов может быть 10, 11, 12, 13, 14 или 15. Каждый такой состав является одним из способов достичь кворума.

Поскольку порядок, в котором члены комиссии выбраны для присутствия, не имеет значения, для подсчета количества возможных составов мы используем формулу числа сочетаний из $n$ по $k$:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Общее количество способов $N$ для достижения кворума равно сумме числа способов для каждого возможного количества присутствующих:$N = C_{15}^{10} + C_{15}^{11} + C_{15}^{12} + C_{15}^{13} + C_{15}^{14} + C_{15}^{15}$

Теперь вычислим каждое слагаемое. Для удобства можно использовать свойство симметрии сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
Число способов для 10 присутствующих: $C_{15}^{10} = C_{15}^{5} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003$
Число способов для 11 присутствующих: $C_{15}^{11} = C_{15}^{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365$
Число способов для 12 присутствующих: $C_{15}^{12} = C_{15}^{3} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455$
Число способов для 13 присутствующих: $C_{15}^{13} = C_{15}^{2} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105$
Число способов для 14 присутствующих: $C_{15}^{14} = C_{15}^{1} = 15$
Число способов для 15 присутствующих: $C_{15}^{15} = C_{15}^{0} = 1$

Сложим все полученные значения, чтобы найти общее количество способов:$N = 3003 + 1365 + 455 + 105 + 15 + 1 = 4944$

Ответ: 4944