Номер 15.18, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.18, страница 129.

15.18. На прямой отметили 12 точек, а на параллельной ей прямой – 7 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Для построения треугольника необходимо выбрать три вершины, которые не лежат на одной прямой. Поскольку в задаче все точки расположены на двух параллельных прямых, любой выбор трех точек, не принадлежащих целиком одной прямой, образует треугольник. Это приводит к двум возможным вариантам выбора вершин.

1. Две вершины выбираются с первой прямой (где 12 точек), а одна — со второй прямой (где 7 точек).
Количество способов выбрать 2 точки из 12 на первой прямой определяется числом сочетаний из 12 по 2, которое обозначается как $C_{12}^2$.
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$ способов.
Количество способов выбрать 1 точку из 7 на второй прямой равно 7.
Общее число треугольников для этого случая равно произведению этих двух значений: $66 \times 7 = 462$.

2. Одна вершина выбирается с первой прямой, а две — со второй прямой.
Количество способов выбрать 1 точку из 12 на первой прямой равно 12.
Количество способов выбрать 2 точки из 7 на второй прямой определяется числом сочетаний из 7 по 2, т.е. $C_7^2$.
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$ способ.
Общее число треугольников для этого случая равно: $12 \times 21 = 252$.

Чтобы найти общее количество возможных треугольников, необходимо сложить результаты, полученные в обоих случаях:
$462 + 252 = 714$.

Ответ: 714.