Номер 15.24, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.24, страница 130.

15.24. Сколькими способами можно разбить 12 спортсменов на 3 команды по 4 человека в каждой?

Данная задача решается с помощью методов комбинаторики, а именно — разбиения множества на неупорядоченные подмножества. Нам необходимо найти количество способов разделить 12 уникальных спортсменов на 3 неразличимые группы по 4 человека в каждой.

Решение можно разбить на несколько шагов:

1. Выбор первой команды.

Сначала выберем 4 спортсмена для первой команды из 12 доступных. Так как порядок выбора спортсменов внутри команды не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов сформировать первую команду: $C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$ способов.

2. Выбор второй команды.

После того как первая команда сформирована, у нас осталось $12 - 4 = 8$ спортсменов. Из них нужно выбрать 4 человека для второй команды.

Число способов сформировать вторую команду: $C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$ способов.

3. Выбор третьей команды.

Осталось $8 - 4 = 4$ спортсмена. Они автоматически формируют третью команду.

Число способов сформировать третью команду: $C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$ способ.

4. Учет неразличимости команд.

Если бы команды были различимы (например, имели бы номера 1, 2 и 3), то общее число способов их сформировать было бы произведением результатов предыдущих шагов: $C_{12}^4 \times C_8^4 \times C_4^4 = 495 \times 70 \times 1 = 34650$.

Однако в условии задачи команды неразличимы. Это значит, что, например, разбиение на группы {Иванов, Петров, ...}, {Сидоров, Кузнецов, ...} и {Смирнов, Попов, ...} — это то же самое, что и разбиение на {Сидоров, Кузнецов, ...}, {Иванов, Петров, ...} и {Смирнов, Попов, ...}. Мы посчитали каждое уникальное разбиение несколько раз.

Поскольку у нас 3 команды одинакового размера, мы посчитали каждое уникальное разбиение столько раз, сколькими способами можно переставить эти 3 команды. Число перестановок для 3 команд равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Чтобы получить итоговое количество способов, нужно разделить полученное произведение на $3!$.

Общий расчет:

Количество способов $N = \frac{C_{12}^4 \times C_8^4 \times C_4^4}{3!} = \frac{\frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!}}{3!} = \frac{12!}{4!4!4! \cdot 3!}$.

Подставим вычисленные значения:

$N = \frac{495 \times 70 \times 1}{6} = \frac{34650}{6} = 5775$.

Таким образом, существует 5775 способов разбить 12 спортсменов на 3 команды по 4 человека.

Ответ: 5775