Номер 15.27, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.27, страница 130.

15.27. Докажите тождество:

1) $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;$

2) $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$

1) Докажем тождество $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Для этого преобразуем левую часть равенства. Представим куб суммы в виде произведения $(a+b)$ на $(a+b)^2$ и воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$

Далее раскроем скобки, последовательно умножив $(a)$ и $(b)$ на многочлен $(a^2 + 2ab + b^2)$:

$(a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Преобразуем левую часть равенства аналогично первому пункту. Воспользуемся определением степени и формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(a - b)^3 = (a - b)(a - b)^2 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки, выполнив умножение многочленов:

$(a - b)(a^2 - 2ab + b^2) = a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = (a^3 - 2a^2b + ab^2) - (a^2b - 2ab^2 + b^3)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные, а затем приведем подобные:

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.