Номер 15.21, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.21, страница 129.

Учебник.

15.21. Среди 20 рабочих 7 штукатуров. Сколькими способами можно составить бригаду из 5 человек так, чтобы в неё входило не менее 2 штукатуров?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи определим общее количество рабочих и количество штукатуров. Всего 20 рабочих, из них 7 штукатуров. Следовательно, рабочих другой специальности $20 - 7 = 13$.

Нужно составить бригаду из 5 человек, в которой будет "не менее 2 штукатуров". Это означает, что количество штукатуров в бригаде может быть 2, 3, 4 или 5. Так как порядок выбора людей в бригаду не имеет значения, будем использовать формулу сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Рассмотрим все возможные составы бригады и вычислим количество способов для каждого случая.

Случай 1: в бригаде 2 штукатура и 3 других рабочих.
Выбираем 2 штукатуров из 7 и 3 других рабочих из 13. Количество способов: $N_1 = C_7^2 \cdot C_{13}^3$.
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.
$C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 286$.
$N_1 = 21 \cdot 286 = 6006$ способов.

Случай 2: в бригаде 3 штукатура и 2 других рабочих.
Выбираем 3 штукатуров из 7 и 2 других рабочих из 13. Количество способов: $N_2 = C_7^3 \cdot C_{13}^2$.
$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.
$C_{13}^2 = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78$.
$N_2 = 35 \cdot 78 = 2730$ способов.

Случай 3: в бригаде 4 штукатура и 1 другой рабочий.
Выбираем 4 штукатуров из 7 и 1 другого рабочего из 13. Количество способов: $N_3 = C_7^4 \cdot C_{13}^1$.
$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.
$C_{13}^1 = 13$.
$N_3 = 35 \cdot 13 = 455$ способов.

Случай 4: в бригаде 5 штукатуров.
Выбираем 5 штукатуров из 7. Количество способов: $N_4 = C_7^5$.
$C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.
$N_4 = 21$ способ.

Общее количество способов составить бригаду, удовлетворяющую условию, равно сумме способов для всех рассмотренных случаев: $N = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 = 6006 + 2730 + 455 + 21 = 9212$.

Ответ: 9212.