Номер 15.16, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.16, страница 129.

15.16. Для школьной лотереи подготовили 100 билетов, из которых 12 – выигрышные. Первый ученик наугад выбирает 10 билетов. Сколько существует вариантов, при которых он выберет 3 выигрышных билета?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики, так как порядок, в котором ученик выбирает билеты, не имеет значения. Мы будем использовать формулу для числа сочетаний.

По условию, всего имеется 100 лотерейных билетов. Из них:

• 12 билетов — выигрышные.
• $100 - 12 = 88$ билетов — невыигрышные.

Ученик выбирает 10 билетов. Требуется найти количество вариантов, при которых он выберет ровно 3 выигрышных билета. Если 3 билета выигрышные, то остальные $10 - 3 = 7$ билетов должны быть невыигрышными.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа способов, которыми можно выбрать 3 выигрышных билета из 12 и 7 невыигрышных билетов из 88.

1. Найдем количество способов выбрать 3 выигрышных билета из 12. Для этого используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$ способов.

2. Найдем количество способов выбрать 7 невыигрышных билетов из 88:

$C_{88}^7 = \frac{88!}{7!(88-7)!} = \frac{88!}{7!81!} = \frac{88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Выполним вычисления:

$C_{88}^7 = \frac{88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82}{5040} = 6 \ 348 \ 337 \ 336$ способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число вариантов, необходимо перемножить количество способов для каждого из этих независимых событий:

$N_{общ} = C_{12}^3 \times C_{88}^7 = 220 \times 6 \ 348 \ 337 \ 336 = 1 \ 396 \ 634 \ 213 \ 920$.

Ответ: существует $1 \ 396 \ 634 \ 213 \ 920$ вариантов, при которых ученик выберет 3 выигрышных билета.