Номер 15.12, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.12, страница 129.

15.12. У одного мальчика есть 11 марок, а у другого – 20 марок (все марки разные). Сколькими способами можно обменять 3 марки одного мальчика на 3 марки другого?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Процесс обмена состоит из двух независимых друг от друга действий:

1. Первый мальчик должен выбрать 3 марки из своих 11.
2. Второй мальчик должен выбрать 3 марки из своих 20.

Поскольку все марки разные и порядок, в котором мальчик выбирает марки для обмена, не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний без повторений. Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

1. Выбор марок первым мальчиком.

Первый мальчик выбирает 3 марки из 11 имеющихся. В данном случае $n=11$, $k=3$. Число способов, которыми он может это сделать:

$C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 3 = 165$ способов.

2. Выбор марок вторым мальчиком.

Второй мальчик выбирает 3 марки из 20 имеющихся. В данном случае $n=20$, $k=3$. Число способов, которыми он может это сделать:

$C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 19 \cdot 6 = 1140$ способов.

3. Общее количество способов обмена.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов совершить оба независимых действия, нужно перемножить количество способов для каждого действия.

Общее число способов = (число способов для первого мальчика) $\cdot$ (число способов для второго мальчика).

$N = C_{11}^3 \cdot C_{20}^3 = 165 \cdot 1140 = 188100$.

Ответ: 188100.