Номер 15.8, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.8, страница 129.

15.8. На плоскости отметили 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Для построения одного треугольника необходимо выбрать 3 точки, которые будут его вершинами. По условию задачи, у нас есть 10 точек, и никакие три из них не лежат на одной прямой. Это означает, что любая комбинация из трех точек однозначно определяет треугольник.

Задача сводится к тому, чтобы найти количество способов выбрать 3 точки из 10 доступных. Поскольку порядок выбора точек для треугольника не важен (треугольник ABC — это тот же самый, что и треугольник BAC), мы имеем дело с сочетаниями.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, общее число точек $n=10$, а число вершин в треугольнике $k=3$. Подставим эти значения в формулу:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}$

Теперь выполним вычисления, сократив факториалы:
$C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$

Таким образом, существует 120 различных способов выбрать 3 точки из 10, а значит, можно образовать 120 треугольников.

Ответ: 120