Номер 15.5, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.5, страница 128.

15.5. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $C_x^2 = 153;$

2) $C_{x+2}^3 = 8(x+1);$

3) $C_x^{x-2} = 45;$

4) $3C_{2x}^{x+1} = 2C_{2x+1}^{x-1}.$

1) $C_x^2 = 153$
По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для того чтобы выражение $C_x^2$ имело смысл, $x$ должен быть натуральным числом и удовлетворять условию $x \ge 2$.
Распишем левую часть уравнения: $C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$.
Получаем уравнение: $\frac{x(x-1)}{2} = 153$.
Умножим обе части на 2: $x(x-1) = 306$.
Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения: $x^2 - x - 306 = 0$.
Решим уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225 = 35^2$.
Находим корни: $x_1 = \frac{1 + 35}{2} = 18$ и $x_2 = \frac{1 - 35}{2} = -17$.
Так как $x$ должен быть натуральным числом и $x \ge 2$, корень $x_2 = -17$ не подходит.
Ответ: $x=18$.

2) $C_{x+2}^3 = 8(x+1)$
Условие для существования сочетания: $x$ - натуральное число и $x+2 \ge 3$, что дает $x \ge 1$.
Распишем левую часть: $C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{3!((x+2)-3)!} = \frac{(x+2)!}{6(x-1)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{6(x-1)!} = \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$.
Подставим в уравнение: $\frac{x(x+1)(x+2)}{6} = 8(x+1)$.
Поскольку $x \ge 1$, то $x+1 > 0$. Разделим обе части на $x+1$: $\frac{x(x+2)}{6} = 8$.
Отсюда $x(x+2) = 48$ или $x^2 + 2x - 48 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-2 + 14}{2} = 6$ и $x_2 = \frac{-2 - 14}{2} = -8$.
Условию $x \in \mathbb{N}$ и $x \ge 1$ удовлетворяет только $x_1 = 6$.
Ответ: $x=6$.

3) $C_x^{x-2} = 45$
Используем свойство симметрии сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$: $C_x^{x-2} = C_x^{x-(x-2)} = C_x^2$.
Условие существования: $x$ - натуральное число, $x \ge x-2$ (верно) и $x-2 \ge 0$, т.е. $x \ge 2$.
Уравнение сводится к $C_x^2 = 45$.
$\frac{x(x-1)}{2} = 45$, откуда $x(x-1) = 90$.
$x^2 - x - 90 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1 + 19}{2} = 10$ и $x_2 = \frac{1 - 19}{2} = -9$.
Условию $x \in \mathbb{N}$ и $x \ge 2$ удовлетворяет только $x_1 = 10$.
Ответ: $x=10$.

4) $3C_{2x}^{x+1} = 2C_{2x+1}^{x-1}$
Определим область допустимых значений. $x$ - натуральное число. Для $C_{2x}^{x+1}$ нужно $2x \ge x+1 \implies x \ge 1$. Для $C_{2x+1}^{x-1}$ нужно $2x+1 \ge x-1 \implies x \ge -2$ и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Итак, $x \in \mathbb{N}, x \ge 1$.
Распишем сочетания: $3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)!}{(x-1)!(x+2)!}$.
Используем свойства факториала $(n+1)! = (n+1)n!$:
$3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)(2x)!}{(x-1)!(x+2)(x+1)!}$.
Сократим общие множители $\frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!}$ в обеих частях (они не равны нулю при $x \ge 1$):
$3 = 2 \cdot \frac{2x+1}{x+2}$.
Решим полученное уравнение: $3(x+2) = 2(2x+1)$.
$3x + 6 = 4x + 2$.
$4x - 3x = 6 - 2$.
$x = 4$.
Значение $x=4$ удовлетворяет области допустимых значений ($x \in \mathbb{N}, x \ge 1$).
Ответ: $x=4$.