Номер 15.6, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.6, страница 128.

15.6. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $C_x^2 = 120;$

2) $C_{x+2}^3 = 7(x+2);$

3) $C_x^{x-2} = 66;$

4) $11C_{2x}^x = 6C_{2x+1}^{x+1}.$

1) Решим уравнение $C_x^2 = 120$.
По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Условием существования сочетаний является $n \ge k \ge 0$. В данном случае $x$ должно быть натуральным числом, и должно выполняться условие $x \ge 2$.
Запишем уравнение, используя формулу для числа сочетаний:
$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$.
Получаем уравнение:
$\frac{x(x-1)}{2} = 120$
$x(x-1) = 240$
$x^2 - x - 240 = 0$
Это квадратное уравнение. Его можно решить, найдя два последовательных числа, произведение которых равно 240. Такими числами являются 16 и 15, так как $16 \cdot 15 = 240$.
Следовательно, $x = 16$.
Второй корень квадратного уравнения, $x = -15$, не является натуральным числом и не удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Проверяем найденный корень: $x = 16$ является натуральным числом и $16 \ge 2$.
Ответ: $x = 16$.

2) Решим уравнение $C_{x+2}^3 = 7(x+2)$.
Условие существования сочетаний: $x+2 \ge 3$, то есть $x \ge 1$. Так как мы ищем решение в натуральных числах ($x \in \mathbb{N}$), это условие означает, что $x$ может быть любым натуральным числом.
Запишем левую часть уравнения по формуле:
$C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{3!((x+2)-3)!} = \frac{(x+2)!}{6(x-1)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{6(x-1)!} = \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{x(x+1)(x+2)}{6} = 7(x+2)$
Так как $x \ge 1$, то $x+2 > 0$, поэтому можно разделить обе части уравнения на $x+2$:
$\frac{x(x+1)}{6} = 7$
$x(x+1) = 42$
$x^2 + x - 42 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем два последовательных числа, произведение которых равно 42. Это числа 6 и 7, так как $6 \cdot 7 = 42$.
Следовательно, $x=6$.
Второй корень уравнения, $x = -7$, не является натуральным числом.
Проверяем корень: $x=6$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Ответ: $x = 6$.

3) Решим уравнение $C_x^{x-2} = 66$.
Условия существования: $x \ge x-2$ (что верно для любого $x$) и $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Решение ищем в натуральных числах.
Используем свойство симметрии сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_x^{x-2} = C_x^{x-(x-2)} = C_x^2$.
Таким образом, уравнение принимает вид:
$C_x^2 = 66$
Распишем левую часть по формуле:
$\frac{x(x-1)}{2} = 66$
$x(x-1) = 132$
$x^2 - x - 132 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем два последовательных числа, произведение которых равно 132. Это числа 12 и 11, так как $12 \cdot 11 = 132$.
Следовательно, $x = 12$.
Второй корень, $x = -11$, не является натуральным числом.
Проверяем корень: $x=12$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Ответ: $x = 12$.

4) Решим уравнение $11C_{2x}^x = 6C_{2x+1}^{x+1}$.
Условия существования: $2x \ge x \Rightarrow x \ge 0$ и $2x+1 \ge x+1 \Rightarrow x \ge 0$. Так как мы ищем решение в натуральных числах ($x \ge 1$), эти условия выполняются.
Распишем сочетания по формуле:
$C_{2x}^x = \frac{(2x)!}{x!(2x-x)!} = \frac{(2x)!}{x!x!}$
$C_{2x+1}^{x+1} = \frac{(2x+1)!}{(x+1)!(2x+1 - (x+1))!} = \frac{(2x+1)!}{(x+1)!x!}$
Подставим эти выражения в уравнение:
$11 \cdot \frac{(2x)!}{x!x!} = 6 \cdot \frac{(2x+1)!}{(x+1)!x!}$
Для упрощения выразим факториалы с большими аргументами через факториалы с меньшими:
$(2x+1)! = (2x+1) \cdot (2x)!$
$(x+1)! = (x+1) \cdot x!$
$11 \cdot \frac{(2x)!}{x!x!} = 6 \cdot \frac{(2x+1)(2x)!}{(x+1)x!x!}$
Поскольку $x$ - натуральное число, то множитель $\frac{(2x)!}{x!x!}$ не равен нулю, и на него можно сократить обе части уравнения:
$11 = 6 \cdot \frac{2x+1}{x+1}$
Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$11(x+1) = 6(2x+1)$
$11x + 11 = 12x + 6$
$12x - 11x = 11 - 6$
$x = 5$
Найденное значение $x=5$ является натуральным числом и удовлетворяет всем исходным условиям.
Ответ: $x = 5$.