Номер 15.2, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.2, страница 128.

15.2. Вычислите:

1) $C_8^3$;

2) $C_5^4$;

3) $C_{1000}^{999}$;

4) $C_9^1 + C_8^0 + C_{17}^1$.

1) Для вычисления числа сочетаний из $n$ по $k$, обозначаемого как $C_n^k$, используется формула: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В данном случае нам нужно вычислить $C_8^3$, где $n=8$ и $k=3$.
Подставим значения в формулу:
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}$
Распишем факториалы и сократим:
$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56$.
Ответ: 56

2) Для вычисления $C_5^4$ можно использовать основную формулу, но удобнее применить свойство симметрии для чисел сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
Применим это свойство:
$C_5^4 = C_5^{5-4} = C_5^1$.
Число сочетаний из $n$ по 1 всегда равно $n$, так как существует $n$ способов выбрать один элемент из $n$ элементов. Таким образом, $C_n^1=n$.
Следовательно, $C_5^1 = 5$.
Ответ: 5

3) Для вычисления $C_{1000}^{999}$ также воспользуемся свойством симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$.
$C_{1000}^{999} = C_{1000}^{1000-999} = C_{1000}^1$.
Используя свойство $C_n^1 = n$, получаем:
$C_{1000}^1 = 1000$.
Ответ: 1000

4) Необходимо вычислить сумму $C_9^1 + C_8^0 + C_{17}^1$. Для этого вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.
Используем следующие свойства чисел сочетаний:
- Число способов выбрать 1 элемент из $n$ равно $n$: $C_n^1 = n$.
- Число способов выбрать 0 элементов из $n$ равно 1 (выбирается пустое множество): $C_n^0 = 1$.
Применим эти свойства:
$C_9^1 = 9$
$C_8^0 = 1$
$C_{17}^1 = 17$
Теперь сложим полученные значения:
$9 + 1 + 17 = 27$.
Ответ: 27