Номер 15.1, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.1, страница 128.

Учебник.

15.1. Вычислите:

1) $C_7^2;$

2) $C_4^3;$

3) $C_{100}^{99};$

4) $C_5^0 + C_7^7 + C_{11}^1.$

Решение.

Решение 2.

1) Число сочетаний из $n$ по $k$, обозначаемое $C_n^k$, вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае, нам нужно вычислить $C_7^2$, где $n=7$ и $k=2$. Подставим значения в формулу:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!}$

Распишем факториалы и сократим:

$C_7^2 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = \frac{42}{2} = 21$.

Ответ: 21

2) Вычислим $C_4^3$. Здесь $n=4$ и $k=3$.

По формуле:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = \frac{4}{1} = 4$.

Также можно использовать свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, что упрощает вычисления:

$C_4^3 = C_4^{4-3} = C_4^1 = 4$.

Ответ: 4

3) Вычислим $C_{100}^{99}$. Здесь $n=100$ и $k=99$.

Используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{100}^{99} = C_{100}^{100-99} = C_{100}^1$.

Число сочетаний из $n$ по 1 всегда равно $n$, поэтому $C_{100}^1 = 100$.

Проверка по основной формуле:

$C_{100}^{99} = \frac{100!}{99!(100-99)!} = \frac{100!}{99!1!} = \frac{100 \times 99!}{99! \times 1} = 100$.

Ответ: 100

4) Необходимо вычислить сумму $C_5^0 + C_7^7 + C_{11}^1$.

Вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя основные свойства чисел сочетаний:

Любое число сочетаний из $n$ по 0 равно 1: $C_n^0 = 1$.
Следовательно, $C_5^0 = 1$.

Любое число сочетаний из $n$ по $n$ равно 1: $C_n^n = 1$.
Следовательно, $C_7^7 = 1$.

Любое число сочетаний из $n$ по 1 равно $n$: $C_n^1 = n$.
Следовательно, $C_{11}^1 = 11$.

Теперь сложим полученные результаты:

$C_5^0 + C_7^7 + C_{11}^1 = 1 + 1 + 11 = 13$.

Ответ: 13