Номер 15.7, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.7, страница 128.

Учебник.

15.7. В классе 29 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 5 человек для участия в математической олимпиаде?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи необходимо найти количество способов выбрать 5 учащихся из 29 без учета порядка их выбора. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.

Мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, которая выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:

• общее число учащихся $n = 29$;
• количество человек в команде $k = 5$.

Подставляем эти значения в формулу:

$C_{29}^5 = \frac{29!}{5!(29-5)!} = \frac{29!}{5! \cdot 24!}$

Распишем факториалы для проведения сокращений:

$C_{29}^5 = \frac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24!}{ (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 24!}$

Сокращаем $24!$ в числителе и знаменателе:

$C_{29}^5 = \frac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Теперь упростим выражение, сократив множители:

$C_{29}^5 = \frac{29 \cdot (4 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 13) \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе получаем:

$C_{29}^5 = 29 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 5$

Выполним умножение:

$29 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 5 = 118755$

Таким образом, существует 118 755 способов сформировать команду из 5 человек.

Ответ: 118755.