Номер 15.4, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.4, страница 128.

Учебник.

15.4. Упростите выражение:

1) $ \frac{6}{n+2} C_{n+2}^n; $

2) $ \frac{1}{2n-1} C_{2n+1}^{2n-2}. $

Решение.

Решение 2.

1)

Для упрощения выражения $ \frac{6}{n+2} C_{n+2}^{n} $ воспользуемся формулой для числа сочетаний (биномиального коэффициента) $ C_k^m = \frac{k!}{m!(k-m)!} $.

В данном случае $ k = n+2 $ и $ m = n $. Подставим эти значения в формулу:

$ C_{n+2}^{n} = \frac{(n+2)!}{n!((n+2)-n)!} = \frac{(n+2)!}{n! \cdot 2!} $

Распишем факториал в числителе: $ (n+2)! = (n+2)(n+1)n! $. А $ 2! = 2 $.

Теперь можем упростить выражение для $ C_{n+2}^{n} $:

$ C_{n+2}^{n} = \frac{(n+2)(n+1)n!}{n! \cdot 2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2} $

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ \frac{6}{n+2} C_{n+2}^{n} = \frac{6}{n+2} \cdot \frac{(n+2)(n+1)}{2} $

Сократим общие множители $ (n+2) $ в числителе и знаменателе, а также выполним деление $ 6/2 $:

$ \frac{6 \cdot (n+1)}{2} = 3(n+1) $

Ответ: $ 3(n+1) $

2)

Для упрощения выражения $ \frac{1}{2n-1} C_{2n+1}^{2n-2} $ воспользуемся формулой для числа сочетаний $ C_k^m = \frac{k!}{m!(k-m)!} $. Также полезно использовать свойство симметрии: $ C_k^m = C_k^{k-m} $.

Применим свойство симметрии к $ C_{2n+1}^{2n-2} $:

$ k-m = (2n+1) - (2n-2) = 2n+1-2n+2 = 3 $

$ C_{2n+1}^{2n-2} = C_{2n+1}^{3} $

Теперь применим основную формулу для $ C_{2n+1}^{3} $:

$ C_{2n+1}^{3} = \frac{(2n+1)!}{3!((2n+1)-3)!} = \frac{(2n+1)!}{3!(2n-2)!} $

Распишем факториал в числителе: $ (2n+1)! = (2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)! $. А $ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $.

$ C_{2n+1}^{3} = \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)!}{6 \cdot (2n-2)!} = \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)}{6} $

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \frac{1}{2n-1} C_{2n+1}^{2n-2} = \frac{1}{2n-1} \cdot \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)}{6} $

Сократим общий множитель $ (2n-1) $:

$ \frac{(2n+1)(2n)}{6} $

Далее сократим дробь на 2:

$ \frac{(2n+1)n}{3} $

Ответ: $ \frac{n(2n+1)}{3} $