Номер 15.4, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.4, страница 128.
№15.4 (с. 128)
Учебник. №15.4 (с. 128)
скриншот условия

15.4. Упростите выражение:
1) $ \frac{6}{n+2} C_{n+2}^n; $
2) $ \frac{1}{2n-1} C_{2n+1}^{2n-2}. $
Решение. №15.4 (с. 128)

Решение 2. №15.4 (с. 128)
1)
Для упрощения выражения $ \frac{6}{n+2} C_{n+2}^{n} $ воспользуемся формулой для числа сочетаний (биномиального коэффициента) $ C_k^m = \frac{k!}{m!(k-m)!} $.
В данном случае $ k = n+2 $ и $ m = n $. Подставим эти значения в формулу:
$ C_{n+2}^{n} = \frac{(n+2)!}{n!((n+2)-n)!} = \frac{(n+2)!}{n! \cdot 2!} $
Распишем факториал в числителе: $ (n+2)! = (n+2)(n+1)n! $. А $ 2! = 2 $.
Теперь можем упростить выражение для $ C_{n+2}^{n} $:
$ C_{n+2}^{n} = \frac{(n+2)(n+1)n!}{n! \cdot 2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2} $
Подставим полученное выражение обратно в исходное:
$ \frac{6}{n+2} C_{n+2}^{n} = \frac{6}{n+2} \cdot \frac{(n+2)(n+1)}{2} $
Сократим общие множители $ (n+2) $ в числителе и знаменателе, а также выполним деление $ 6/2 $:
$ \frac{6 \cdot (n+1)}{2} = 3(n+1) $
Ответ: $ 3(n+1) $
2)
Для упрощения выражения $ \frac{1}{2n-1} C_{2n+1}^{2n-2} $ воспользуемся формулой для числа сочетаний $ C_k^m = \frac{k!}{m!(k-m)!} $. Также полезно использовать свойство симметрии: $ C_k^m = C_k^{k-m} $.
Применим свойство симметрии к $ C_{2n+1}^{2n-2} $:
$ k-m = (2n+1) - (2n-2) = 2n+1-2n+2 = 3 $
$ C_{2n+1}^{2n-2} = C_{2n+1}^{3} $
Теперь применим основную формулу для $ C_{2n+1}^{3} $:
$ C_{2n+1}^{3} = \frac{(2n+1)!}{3!((2n+1)-3)!} = \frac{(2n+1)!}{3!(2n-2)!} $
Распишем факториал в числителе: $ (2n+1)! = (2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)! $. А $ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $.
$ C_{2n+1}^{3} = \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)!}{6 \cdot (2n-2)!} = \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)}{6} $
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ \frac{1}{2n-1} C_{2n+1}^{2n-2} = \frac{1}{2n-1} \cdot \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)}{6} $
Сократим общий множитель $ (2n-1) $:
$ \frac{(2n+1)(2n)}{6} $
Далее сократим дробь на 2:
$ \frac{(2n+1)n}{3} $
Ответ: $ \frac{n(2n+1)}{3} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 15.4 расположенного на странице 128 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15.4 (с. 128), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.