Номер 15.11, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.11, страница 129.

Учебник.

15.11. В шахматной секции занимаются 5 девочек и 12 мальчиков. Сколькими способами можно сформировать команду из 2 девочек и 5 мальчиков для участия в соревнованиях?

Решение.

Решение 2.

Для решения данной задачи необходимо использовать комбинаторный подход. Поскольку порядок выбора членов команды не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний. Задача решается в два этапа: сначала мы находим количество способов выбрать девочек, а затем — количество способов выбрать мальчиков. Итоговый результат будет произведением этих двух чисел.

Шаг 1: Вычисление количества способов выбрать девочек.

Нам нужно выбрать 2 девочки из 5. Количество сочетаний из $n$ по $k$ находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, для девочек $n=5$ и $k=2$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ способов.

Шаг 2: Вычисление количества способов выбрать мальчиков.

Теперь нужно выбрать 5 мальчиков из 12. Здесь $n=12$ и $k=5$.

$C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Выполним вычисления:

$C_{12}^5 = \frac{95040}{120} = 792$ способа.

Шаг 3: Вычисление общего количества способов сформировать команду.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов сформировать команду, нужно перемножить количество способов выбора девочек и количество способов выбора мальчиков.

Общее число способов = $C_5^2 \times C_{12}^5 = 10 \times 792 = 7920$.

Ответ: 7920