Номер 15.9, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.9, страница 129.

15.9. Дан выпуклый $n$-угольник. Сколько существует четырёхугольников с вершинами, содержащимися среди вершин данного $n$-угольника?

15.9. Чтобы образовать четырёхугольник, необходимо выбрать 4 вершины из $n$ вершин данного выпуклого $n$-угольника. Поскольку исходный многоугольник является выпуклым, любые три его вершины не лежат на одной прямой. Это означает, что любой выбор четырёх вершин однозначно определяет один выпуклый четырёхугольник.

Порядок выбора вершин для формирования четырёхугольника не имеет значения. Например, четырёхугольник с вершинами A, B, C, D — это тот же самый четырёхугольник, что и с вершинами D, C, B, A. Следовательно, задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ элементов по 4.

Число сочетаний из $n$ по $k$ (количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ без учёта порядка) вычисляется по формуле биномиального коэффициента: $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее количество вершин $n$, а для четырёхугольника мы выбираем $k=4$ вершин. Таким образом, количество возможных четырёхугольников равно: $C_n^4 = \binom{n}{4} = \frac{n!}{4!(n-4)!}$

Распишем факториалы: $C_n^4 = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)!}{4! \cdot (n-4)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

Эта формула имеет смысл только при $n \ge 4$, так как для образования четырёхугольника необходимо как минимум 4 вершины. Если $n < 4$, то количество таких четырёхугольников равно нулю.

Ответ: $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$.